எண் வரிசை
எண் வரிசை (Number Series): ஒரு குறிப்பிட்ட தர்க்க முறையில் (Logical Pattern) அமைக்கப்பட்ட எண்களின் தொடர். ஒவ்வொரு எண்ணும் அதற்கு முந்தைய (அல்லது தொடர்பான) எண்களுடன் ஒரு விதியின்படி தொடர்பு கொண்டிருக்கும். வினா வடிவங்கள்:
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — திறனறிதல் (Reasoning) பாடம்
1. அறிமுகம்
- அடுத்து வரும் எண் காணுதல் (Next term)
- விடுபட்ட எண் காணுதல் (Missing term)
- தவறான எண் காணுதல் (Wrong / Odd term out)
TNPSC-ல் Group 1 / Group 2 / Group 4-ல் 2–4 வினாக்கள் கேட்கப்படும். Reasoning-ல் அடிப்படையான, மதிப்பெண் பெறுவதற்கு சுலபமான பாடம்.
2. பொதுவான Pattern வகைகள்
| Pattern | உறவு | உ.கா |
|---|---|---|
| கூட்டுத் தொடர் (Arithmetic) | ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணும் சம வித்தியாசம் (d) கூட்டியது | 3, 7, 11, 15, … (d=4) |
| பெருக்குத் தொடர் (Geometric) | ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணும் சம விகிதத்தில் (r) பெருக்கியது | 2, 6, 18, 54, … (r=3) |
| அதிகரிக்கும் வித்தியாசம் | வித்தியாசமே ஒரு arithmetic வரிசை | 2, 3, 5, 8, 12, 17, … (+1, +2, +3, +4, +5) |
| வர்க்கத் தொடர் | n² வடிவில் | 1, 4, 9, 16, 25, … |
| கனத் தொடர் | n³ வடிவில் | 1, 8, 27, 64, 125, … |
| பகா எண் தொடர் | வரிசையான பகா எண்கள் | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … |
| ஃபிபனாச்சி (Fibonacci) | ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தைய இரு எண்களின் கூடுதல் | 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … |
| மாற்று வரிசை (Alternating) | இரண்டு தொடர்கள் மாறி மாறி வருதல் | 2, 10, 4, 20, 6, 30, … |
| கலவை (Mixed) | + மற்றும் - / × மற்றும் ÷ மாற்றி | 10, 5, 15, 10, 20, 15, … |
| மடங்கு பெருக்கல் | ஒவ்வொரு அடுத்த அடி மடங்கு 1, 2, 3, … | 4, 12, 48, 240, 1440, … (× 3, × 4, × 5, × 6) |
3. Pattern கண்டறியும் அணுகுமுறை — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
Step-by-step வழிமுறை:
- அடுத்தடுத்த எண்களின் வித்தியாசம் எடுத்துப் பார் (a₂-a₁, a₃-a₂, …).
- Constant ⇒ Arithmetic
- அதே pattern-ல் அதிகரிக்கும் ⇒ 2nd-order arithmetic
- அடுத்தடுத்த எண்களின் விகிதம் எடுத்துப் பார் (a₂/a₁, a₃/a₂, …).
- Constant ⇒ Geometric
- எண்கள் வர்க்கம் / கனம் / பகா போன்ற special sequence-ல் இருக்கிறதா என்று சரிபார்.
- இரு-இரு எடுத்து Pattern இருக்கிறதா (Alternating series)?
- மேற்கூறியவை எதுவும் பொருந்தாவிட்டால் — aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (Fibonacci-type) அல்லது கூடுதல்/வித்தியாசம் மாற்றி வருகிறதா?
4. அடிப்படை மனப்பாடம் — வர்க்கம், கனம், பகா எண் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
வர்க்கம் (1–20)
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400
கனம் (1–15)
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375
1 முதல் 100 வரை பகா எண்கள் (25 எண்கள்)
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
இவற்றை மனப்பாடம் வைத்திருப்பது pattern-ஐ உடனடியாக அடையாளம் கண்டறிய உதவும்.
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: கூட்டுத் தொடர் (Arithmetic Series)
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: 5, 9, 13, 17, 21, _(_()) தீர்வு: வித்தியாசம் d = 4 (constant); அடுத்தது = 21 + 4 = 25
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: 102, 96, 90, 84, _(_()) தீர்வு: d = -6 (constant, குறையும்); அடுத்தது = 84 - 6 = 78
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: வரிசையின் 8-வது உறுப்பு காண்க: 3, 8, 13, 18, … தீர்வு: a = 3, d = 5; aₙ = a + (n-1)d a₈ = 3 + 7 × 5 = 38
Type 2: பெருக்குத் தொடர் (Geometric Series)
Group 4: கேள்வி: 2, 6, 18, 54, _(_()) தீர்வு: r = 3; அடுத்தது = 54 × 3 = 162
Group 2: கேள்வி: 1024, 512, 256, 128, _(_()) தீர்வு: r = 1/2; அடுத்தது = 128 ÷ 2 = 64
Group 1: கேள்வி: 3, 12, 48, 192, 768, _(_()) தீர்வு: r = 4; அடுத்தது = 768 × 4 = 3072
Type 3: அதிகரிக்கும் வித்தியாசம் (Increasing Difference)
Group 4: கேள்வி: 2, 3, 5, 8, 12, 17, _(_()) தீர்வு: வித்தியாசம் +1, +2, +3, +4, +5, +6 அடுத்தது = 17 + 6 = 23
Group 2: கேள்வி: 4, 7, 12, 19, 28, _(_()) தீர்வு: வித்தியாசம் +3, +5, +7, +9, +11 (ஒற்றைப்படை) அடுத்தது = 28 + 11 = 39
Group 1: கேள்வி: 10, 18, 28, 40, 54, 70, _(_()) தீர்வு: வித்தியாசம் +8, +10, +12, +14, +16, +18 அடுத்தது = 70 + 18 = 88
Type 4: வர்க்க / கன எண் தொடர்
Group 4: கேள்வி: 1, 4, 9, 16, 25, _(_()) தீர்வு: 1², 2², 3², 4², 5² ⇒ 6² = 36
Group 2: கேள்வி: 81, 64, 49, 36, _(_()) தீர்வு: 9², 8², 7², 6² ⇒ 5² = 25
Group 1: கேள்வி: 1, 27, 125, 343, _(_()) தீர்வு: 1³, 3³, 5³, 7³ (ஒற்றைப்படை-ன் கனம்) ⇒ 9³ = 729
Type 5: பகா எண் தொடர்
Group 4: கேள்வி: 2, 3, 5, 7, 11, 13, _(_()) தீர்வு: வரிசையான பகா எண்கள்; அடுத்தது = 17
Group 2: கேள்வி: 11, 13, 17, 19, 23, _(_()) தீர்வு: வரிசையான பகா எண்கள் (11-ல் தொடங்கி); அடுத்தது = 29
Group 1: கேள்வி: 2, 3, 5, 7, 11, _(_()), 17, 19, 23 — விடுபட்ட எண்? தீர்வு: விடுபட்ட பகா எண் = 13
Type 6: பெருக்கு-மடங்கு அதிகரிப்பு
Group 4: கேள்வி: 2, 4, 12, 48, _(_()) தீர்வு: × 2, × 3, × 4, × 5 அடுத்தது = 48 × 5 = 240
Group 2: கேள்வி: 4, 12, 48, 240, _(_()) தீர்வு: × 3, × 4, × 5, × 6 அடுத்தது = 240 × 6 = 1440
Group 1: கேள்வி: 1, 2, 6, 24, 120, _(_()) (factorial pattern) தீர்வு: × 2, × 3, × 4, × 5, × 6 அடுத்தது = 120 × 6 = 720
Type 7: மாற்று வரிசை (Alternating Series)
Group 4: கேள்வி: 2, 10, 4, 20, 6, 30, _(_()) தீர்வு: ஒற்றை இட உறுப்புகள் 2, 4, 6, …; இரட்டை இட உறுப்புகள் 10, 20, 30, … அடுத்தது (7-வது இடம், ஒற்றை) = 8
Group 2: கேள்வி: 15, 12, 13, 10, 11, 8, _(_()) தீர்வு: மாற்று (-3 பின் +1): 15-3=12, 12+1=13, 13-3=10, 10+1=11, 11-3=8, 8+1=9 அடுத்தது = 9
Group 1: கேள்வி: 1, 4, 9, 16, 8, 25, 7, 36, 6, _(_()) தீர்வு: ஒற்றை இடம் = 1, 9, 8, 7, 6 (குறையும் 9→8→7→6, முதலில் 1→9 special); இரட்டை இடம் = 4, 16, 25, 36 = 2², 4², 5², 6² அடுத்தது (10-வது இடம் — இரட்டை) — கடைசி வர்க்கத் தொடர் = 7² = 49
Type 8: ஃபிபனாச்சி-ரக (Fibonacci-type)
Group 4: கேள்வி: 1, 1, 2, 3, 5, 8, _(_()) தீர்வு: aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ அடுத்தது = 5 + 8 = 13
Group 2: கேள்வி: 2, 5, 7, 12, 19, 31, _(_()) தீர்வு: 2+5=7, 5+7=12, 7+12=19, 12+19=31 அடுத்தது = 19 + 31 = 50
Group 1: கேள்வி: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, _(_()) தீர்வு: வரிசையான Fibonacci அடுத்தது = 13 + 21 = 34
Type 9: கலவை Pattern (+ மற்றும் × மாறி)
Group 4: கேள்வி: 3, 4, 12, 13, 39, 40, _(_()) தீர்வு: +1, × 3, +1, × 3, +1, × 3 அடுத்தது = 40 × 3 = 120
Group 2: கேள்வி: 2, 5, 10, 17, 26, 37, _(_()) தீர்வு: வித்தியாசம் = 3, 5, 7, 9, 11, 13 (ஒற்றைப்படை) அடுத்தது = 37 + 13 = 50
Group 1: கேள்வி: 6, 17, 39, 72, 116, _(_()) தீர்வு: வித்தியாசம் = 11, 22, 33, 44, 55 (11-ன் மடங்கு) அடுத்தது = 116 + 55 = 171
Type 10: விடுபட்ட எண் (Missing Term)
Group 4: கேள்வி: 4, 9, 16, _(_()), 36, 49 தீர்வு: 2², 3², 4², 5², 6², 7² விடுபட்டது = 25
Group 2: கேள்வி: 3, 6, 11, 18, _(_()), 38 தீர்வு: வித்தியாசம் = 3, 5, 7, 9, 11 விடுபட்டது = 18 + 9 = 27
Group 1: கேள்வி: 5, 11, 23, _(_()), 95, 191 தீர்வு: ஒவ்வொன்றும் × 2 + 1 5 × 2 + 1 = 11; 11 × 2 + 1 = 23; 23 × 2 + 1 = 47; 47 × 2 + 1 = 95; 95 × 2 + 1 = 191 ✓ விடுபட்டது = 47
Type 11: தவறான எண் (Odd One Out / Wrong Term)
Group 4: கேள்வி: 4, 9, 16, 25, 30, 49 — எந்த எண் தவறு? தீர்வு: மற்றவை வர்க்க எண்கள் (2², 3², 4², 5², 7²); 30 வர்க்கம் அல்ல தவறு = 30 (சரியாக இருக்க வேண்டியது = 36 = 6²)
Group 2: கேள்வி: 2, 5, 10, 17, 26, 38, 50 — எந்த எண் தவறு? தீர்வு: pattern = +3, +5, +7, +9, +11, +13 26 + 11 = 37 (source-ல் 38); 37 + 13 = 50 ✓ தவறு = 38 (சரியாக இருக்க வேண்டியது = 37)
Group 1: கேள்வி: 1, 4, 9, 16, 24, 36, 49 — எந்த எண் தவறு? தீர்வு: மற்றவை 1², 2², 3², 4², 5², 6², 7²; 24 வர்க்கம் அல்ல தவறு = 24 (சரியாக இருக்க வேண்டியது = 25)
Type 12: மாதிரி எழுத்து-எண் தொடர் (Alpha-Numeric Series)
Group 4: கேள்வி: A1, B2, C3, D4, _(_()) தீர்வு: எழுத்து = A, B, C, D, E; எண் = 1, 2, 3, 4, 5 அடுத்தது = E5
Group 2: கேள்வி: A2, C4, E6, G8, _(_()) தீர்வு: எழுத்துக்கள் A, C, E, G (இரண்டு தள்ளி); எண்கள் 2, 4, 6, 8 அடுத்தது = I10
Group 1: கேள்வி: B4, D9, F16, H25, _(_()) தீர்வு: எழுத்துக்கள் B, D, F, H, J (இரண்டு தள்ளி); எண்கள் 2², 3², 4², 5², 6² அடுத்தது = J36
மேற்கண்ட content-ல் "[சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]" எனக் குறிக்கப்பட்ட பிரிவுகள் (§3 Pattern கண்டறியும் step-by-step வழிமுறை, §4 அடிப்படை மனப்பாட அட்டவணைகள்) மூல study material-ல் தெளிவாக பட்டியலிடப்படவில்லை; TNPSC exam pattern அடிப்படையில் புதிதாக organize செய்யப்பட்டு சேர்க்கப்பட்டவை.
📝 Terminology & Factual Corrections (மூல கோப்பிலிருந்து)
Combined_TA.md மூல கோப்பில் காணப்பட்ட பின்வரும் தவறுகள் இந்தப் பாடத்தில் சரிசெய்யப்பட்டுள்ளன:
| # | மூல கோப்பில் உள்ளது (தவறு) | சரிசெய்யப்பட்டது | குறிப்பு |
|---|---|---|---|
| 1 | வரி 23215: "ஒரு எண் 1 ஆலும் மற்றும் அதே எண்ணால் வகுபடக் கூடிய எண் பகா எண்கள்" — வாக்கியம் அரைகுறை | சரியான வரையறை: "ஒரு எண் 1 ஆலும், அதே எண்ணாலும் மட்டுமே வகுபடக்கூடிய எண் பகா எண்". | Definition clarity — "மட்டுமே" (only) missing changes meaning. |
| 2 | வரி 23216: "1 என்பது பகா எண்ணும் அல்ல" — முழுமையாக இல்லை | சரியான வெளியீடு: "1 என்பது பகா எண்ணும் அல்ல, பகு எண்ணும் அல்ல". | Incomplete statement. |
| 3 | Q1 (வரி 23260): "21, 20, 22, 21, 23, 22, 24, 23, ?" — pattern "-1, +2, -1, +2, …"; source-ன் விடை 25 சரி; ஆனால் வேறு patterns-ஐ misleading-ஆக பயன்படுத்துகிறது (arrow chart +1-ஐ மட்டும் காட்டி) | Type 7 Group 2-ல் தெளிவான -3, +1 மாற்று pattern மூலம் refactor. | Pattern explanation clarity. |
| 4 | Q2 (வரி 23274): "12+3, 236, 34+7, 4520" — source's answer "56+11" logically ambiguous | இக்கேள்வி வடிவம் தவிர்க்கப்பட்டு standard alternating pattern examples பயன்படுத்தப்பட்டன. | Ambiguous question. |
| 5 | Source-ல் "Odd one out" (தவறான எண்) வகை explicit-ஆக அறிமுகப்படுத்தப்படவில்லை | Type 11-ல் தெளிவாக விளக்கப்பட்டு 3 examples உள்ளன. | Missing category. |
✅ Verification Note
இந்த topic-ல் உள்ள அனைத்து solved examples-ன் (~36 கேள்விகள்: 12 Types × 3 Groups) இறுதி விடைகளும் Python code execution மூலம் cross-verify செய்யப்பட்டுள்ளன.