நிகழ்தகவு
நிகழ்தகவு (Probability): ஒரு நிகழ்ச்சி (Event) நடைபெறுவதற்கான சாத்தியக்கூறின் எண்ணியல் அளவை. மதிப்பு எப்போதும் 0 முதல் 1 வரை இருக்கும்.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
முக்கிய கருத்துகள்:
| சொல் | English | வரையறை |
|---|---|---|
| சோதனை | Experiment | சாத்தியமான ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விடைகள் கொண்ட ஒரு செயல் (எ.கா: நாணயம் சுண்டுதல்) |
| கூறுவெளி | Sample Space S | சாத்தியமான அனைத்து விடைகளின் தொகுப்பு |
| நிகழ்ச்சி | Event E | கூறுவெளியின் ஒரு உட்கணம் |
| n(S) | Total outcomes | கூறுவெளியில் உள்ள மொத்த உறுப்புகள் |
| n(E) | Favourable outcomes | நிகழ்ச்சிக்கு பொருந்தும் உறுப்புகள் |
அடிப்படை சூத்திரம்
P(E) = (n(E))/(n(S)) = (சாதகமான வாய்ப்புகள்)/(மொத்த வாய்ப்புகள்)
- P(E) = 0 ⇒ உறுதியற்ற நிகழ்ச்சி (Impossible Event)
- P(E) = 1 ⇒ உறுதியான நிகழ்ச்சி (Certain / Sure Event)
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- P(E) + P(E̅) = 1 ⇒ P(E̅) = 1 - P(E) (நிரப்புத் தேற்றம் — Complementary Rule)
TNPSC-ல் Group 1 / Group 2-ல் 2–3 வினாக்கள் கேட்கப்படும்.
2. நாணய, பகடை, சீட்டு அடிப்படைகள்
(a) நாணயம் (Coin)
- 1 நாணயம்: {H, T} ⇒ n(S) = 2
- 2 நாணயம்: {HH, HT, TH, TT} ⇒ n(S) = 4
- 3 நாணயம்: {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} ⇒ n(S) = 8
- பொது சூத்திரம்: n நாணயங்களை சுண்டினால் n(S) = 2ⁿ
(b) பகடை (Die)
- 1 பகடை: {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(S) = 6
- 2 பகடை: n(S) = 6 × 6 = 36
- n பகடை: n(S) = 6ⁿ
(c) சீட்டு (Playing Cards) — TNPSC standard
- மொத்த சீட்டு = 52
- கருப்பு (26) = ஸ்பேடு (Spades spadesuit) 13 + க்ளப்ஸ் (Clubs clubsuit) 13
- சிவப்பு (26) = ஹார்ட் (Hearts heartsuit) 13 + டைமண்ட் (Diamonds diamondsuit) 13
- ஒவ்வொரு வகையிலும் 13 சீட்டுகள்: A, 2, 3, ..., 10, J, Q, K
- படம் அட்டைகள் (Face cards): J, Q, K — 3 × 4 = 12
- Ace சீட்டுகள்: 4 (ஒவ்வொரு வகையிலும் ஒன்று)
- எண் அட்டைகள்: 2, 3, ..., 10 — 9 × 4 = 36
3. முக்கிய தேற்றங்கள்
(a) கூட்டல் தேற்றம் (Addition Theorem)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
- A, B பரஸ்பர விலக்கு நிகழ்ச்சிகள் (Mutually Exclusive) எனில் P(A ∩ B) = 0 ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(b) பெருக்கல் தேற்றம் (Multiplication Theorem)
A மற்றும் B சார்பற்ற நிகழ்ச்சிகள் (Independent) எனில்:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
(c) நிரப்புத் தேற்றம் (Complementary)
P(E̅) = 1 - P(E)
பயன்பாடு: "குறைந்தபட்சம் ஒன்று" போன்ற கேள்விகளில் — P(at least 1) = 1 - P(none).
4. Combination-அடிப்படையிலான நிகழ்தகவு — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
n பொருள்களிலிருந்து r பொருள்களை ஒரே சமயத்தில் தேர்வு செய்தால், மொத்த வாய்ப்புகள் = ⁿC_r = (n!)/(r!(n-r)!)
பொது வடிவம்: ஒரு பையில் வெவ்வேறு நிற பந்துகள் இருந்து r பந்துகள் எடுக்கப்பட்டால் —
P(குறிப்பிட்ட நிற பந்துகள்) = (^aC_r)/(ⁿC_r)
இதில் a = அந்த நிற பந்துகளின் எண்ணிக்கை; n = மொத்தம்.
5. இரு பகடை — கூடுதல் / வித்தியாசம் / பெருக்கல் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
இரு பகடை உருட்டும் போது n(S) = 36. கூடுதல்-க்கான வாய்ப்புகள் (சாதகம்):
| கூடுதல் = s | வாய்ப்புகள் | P |
|---|---|---|
| 2 | 1: (1,1) | 1/36 |
| 3 | 2: (1,2),(2,1) | 2/36 |
| 4 | 3 | 3/36 |
| 5 | 4 | 4/36 |
| 6 | 5 | 5/36 |
| 7 | 6 | 6/36 = 1/6 |
| 8 | 5 | 5/36 |
| 9 | 4 | 4/36 |
| 10 | 3 | 3/36 |
| 11 | 2 | 2/36 |
| 12 | 1: (6,6) | 1/36 |
குறிப்பு: 7 கூடுதல் — சாத்தியமான அதிக கூடுதல் (6/36).
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: நாணயம் — அடிப்படை நிகழ்தகவு
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: ஒரு நாணயத்தை சுண்டும் போது தலை (Head) கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: S = {H, T}; n(S) = 2; n(E) = 1 P(H) = 1/2
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: இரண்டு நாணயங்களை சுண்டும் போது ஒரு தலையாவது கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: S = {HH, HT, TH, TT}; n(S) = 4 "ஒரு தலையாவது" — TT-ஐத் தவிர: E = {HH, HT, TH}; n(E) = 3 P(E) = 3/4 குறுக்கு: P(at least one H) = 1 - P(no H) = 1 - 1/4 = 3/4 ✓
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: மூன்று நாணயங்களை சுண்டும் போது சரியாக 2 தலைகள் கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: n(S) = 8; E = {HHT, HTH, THH}; n(E) = 3 P(E) = 3/8
Type 2: நாணயம் — குறைந்தபட்சம் / அதிகபட்சம்
Group 4: கேள்வி: மூன்று நாணயங்களை சுண்டும் போது குறைந்தபட்சம் 2 தலைகள் கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: E = {HHH, HHT, HTH, THH}; n(E) = 4 P(E) = 4/8 = 1/2
Group 2: கேள்வி: மூன்று நாணயங்களை சுண்டும் போது அதிகபட்சம் 2 தலைகள் கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: அதிகபட்சம் 2 தலைகள் = 3 தலைகளைத் தவிர்த்த அனைத்தும் E = S - {HHH}; n(E) = 7 P(E) = 7/8 குறுக்கு: = 1 - P(HHH) = 1 - 1/8 = 7/8 ✓
Group 1: கேள்வி: நான்கு நாணயங்களை சுண்டும் போது குறைந்தபட்சம் ஒரு பூ (Tail) கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: n(S) = 16; P(no T) = P(HHHH) = 1/16 P(at least 1 T) = 1 - 1/16 = 15/16
Type 3: ஒரே பகடை
Group 4: கேள்வி: ஒரு பகடையை உருட்டும் போது இரட்டைப்படை எண் கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: S = {1,2,3,4,5,6}; E = {2, 4, 6} P(E) = 3/6 = 1/2
Group 2: கேள்வி: ஒரு பகடையை உருட்டும் போது 3-ஐ விடப் பெரிய எண் கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: E = {4, 5, 6}; n(E) = 3 P(E) = 3/6 = 1/2
Group 1: கேள்வி: ஒரு பகடையை உருட்டும் போது பகா எண் கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: E = {2, 3, 5}; n(E) = 3 P(E) = 3/6 = 1/2
Type 4: இரு பகடை — கூடுதல்
Group 4: கேள்வி: இரு பகடைகளை உருட்டும் போது கூடுதல் = 7 கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: E = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}; n(E) = 6 P(E) = 6/36 = 1/6
Group 2: கேள்வி: இரு பகடைகளை உருட்டும் போது கூடுதல் = 8 அல்லது 9 கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: P(8) = 5/36; P(9) = 4/36 (mutually exclusive) P(8 ∪ 9) = (5+4)/36 = 9/36 = 1/4
Group 1: கேள்வி: இரு பகடைகளை உருட்டும் போது கூடுதல் ≥ 10 கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: கூடுதல் 10, 11, 12: 3 + 2 + 1 = 6 P(E) = 6/36 = 1/6
Type 5: இரு பகடை — சிறப்பு நிபந்தனை
Group 4: கேள்வி: இரு பகடைகளை உருட்டும் போது இரண்டிலும் ஒரே எண் (Doublet) கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: E = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}; n(E) = 6 P(E) = 6/36 = 1/6
Group 2: கேள்வி: இரு பகடைகளை உருட்டும் போது கூடுதல் = 10 அல்லது இரண்டிலும் ஒரே எண் கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: கூடுதல் = 10: {(4,6),(5,5),(6,4)}; n = 3 Doublet: {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}; n = 6 இணைப்பு (intersection): (5,5); n = 1 P(sum 10 ∪ Doublet) = (3 + 6 - 1)/36 = 8/36 = 2/9
Group 1: கேள்வி: இரு பகடைகளை உருட்டும் போது இரண்டிலும் பகா எண் மட்டுமே கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: பகா எண்கள் {2, 3, 5}; E = {2,3,5} × {2,3,5}; n(E) = 9 P(E) = 9/36 = 1/4
Type 6: சீட்டுக்கட்டு — ஒரு சீட்டு
Group 4: கேள்வி: 52 சீட்டுக்கட்டிலிருந்து ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது ஸ்பேடு ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: n(E) = 13 P(E) = 13/52 = 1/4
Group 2: கேள்வி: ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது சிவப்பு நிற ராணி (Red Queen) ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: சிவப்பு ராணிகள் = 2 (ஹார்ட், டைமண்ட்) P(E) = 2/52 = 1/26
Group 1: கேள்வி: ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது படம் அட்டை (Face Card — J/Q/K) ஆக இல்லாமல் இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: படம் அட்டைகள் = 12; படம் இல்லாதவை = 40 P(E) = 40/52 = 10/13
Type 7: சீட்டுக்கட்டு — கூட்டல் தேற்றம் (or / union)
Group 4: கேள்வி: ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது சிவப்பு நிறம் அல்லது ராணி ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: சிவப்பு = 26; ராணி = 4; சிவப்பு ராணி = 2 P(R ∪ Q) = (26 + 4 - 2)/52 = 28/52 = 7/13
Group 2: கேள்வி: ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது 10 அல்லது ஸ்பேடு ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: 10-கள் = 4; ஸ்பேடுகள் = 13; 10 of ஸ்பேடு = 1 P = (4 + 13 - 1)/52 = 16/52 = 4/13
Group 1: கேள்வி: ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது படம் அட்டை அல்லது டைமண்ட் ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: படம் = 12; டைமண்ட் = 13; படம்-டைமண்ட் = 3 (J, Q, K of Diamond) P = (12 + 13 - 3)/52 = 22/52 = 11/26
Type 8: பையிலிருந்து ஒரு பந்து
Group 4: கேள்வி: ஒரு பையில் 3 வெள்ளை, 6 கருப்பு, 1 மஞ்சள் பந்து உள்ளன. ஒரு பந்து எடுக்கப்பட்டால் அது வெள்ளை ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: P(W) = 3/10
Group 2: கேள்வி: ஒரு பையில் 5 சிவப்பு, 6 நீலம், 4 வெள்ளை பந்து. ஒரு பந்து எடுக்கப்பட்டால் சிவப்பு அல்லது நீலம் ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: மொத்தம் = 15 P(R ∪ B) = (5 + 6)/15 = 11/15
Group 1: கேள்வி: ஒரு பையில் 8 சிவப்பு, 12 நீலம், x பச்சை பந்து. ஒரு பந்து எடுத்தால் பச்சை கிடைக்க நிகழ்தகவு = 1/6 எனில் x யாது? தீர்வு: x/(20 + x) = 1/6 ⇒ 6x = 20 + x ⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4
Type 9: Combination — பல பந்துகள் ஒரே சமயத்தில்
Group 4: கேள்வி: ஒரு பையில் 4 வெள்ளை, 5 சிவப்பு பந்துகள். 2 பந்துகள் எடுத்தால் இரண்டும் சிவப்பு ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: ⁹C₂ = 36; ⁵C₂ = 10 P = 10/36 = 5/18
Group 2: கேள்வி: ஒரு பையில் 4 வெள்ளை, 5 சிவப்பு, 6 நீல பந்துகள். 3 பந்துகள் எடுத்தால் மூன்றும் சிவப்பு ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: ¹⁵C₃ = 455; ⁵C₃ = 10 P = 10/455 = 2/91
Group 1: கேள்வி: ஒரு பையில் 10 பச்சை, 10 வெள்ளை பந்து. 2 பந்துகள் எடுத்தால் இரண்டும் ஒரே நிற ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: ²⁰C₂ = 190 ¹⁰C₂ + ¹⁰C₂ = 45 + 45 = 90 P = 90/190 = 9/19
Type 10: நிரப்புத் தேற்றம் (Complementary)
Group 4: கேள்வி: ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது. அது ராணியாக இல்லாமல் இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: P(Q) = 4/52 = 1/13 P(Q̅) = 1 - 1/13 = 12/13
Group 2: கேள்வி: இரு பகடைகளை உருட்டும் போது கூடுதல் ≤ 4 கிடைக்கும் நிகழ்தகவின் நிரப்பு யாது? தீர்வு: கூடுதல் ≤ 4: {(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2)}; n = 6 P(≤ 4) = 6/36 = 1/6 P(> 4) = 1 - 1/6 = 5/6
Group 1: கேள்வி: 5 நாணயங்களை சுண்டும் போது குறைந்தபட்சம் ஒரு தலை கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: n(S) = 32; P(no head) = 1/32 P(at least 1) = 1 - 1/32 = 31/32
Type 11: பெருக்கல் தேற்றம் (Independent Events)
Group 4: கேள்வி: ஒரு நாணயம் சுண்டும் போது தலை; ஒரு பகடை உருட்டும் போது 6 — இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் கிடைக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: நிகழ்ச்சிகள் சார்பற்றவை. P = 1/2 × 1/6 = 1/12
Group 2: கேள்வி: A-ஆவது சோதனை தேர்ச்சிக்கு நிகழ்தகவு 2/3; B-க்கு 3/4. இருவரும் தேர்ச்சி பெற நிகழ்தகவு யாது? இருவருமே தோல்வி அடைய நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: P(A ∩ B) = 2/3 × 3/4 = 1/2 P(A̅ ∩ B̅) = 1/3 × 1/4 = 1/12
Group 1: கேள்வி: ஒரு பையில் 3 சிவப்பு, 2 நீலம். ஒரு பந்து எடுத்து திரும்ப வைத்து மற்றொரு பந்து எடுத்தால், இரண்டும் சிவப்பு ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: (Replacement — சார்பற்றவை) P = 3/5 × 3/5 = 9/25
Type 12: சார்பு நிகழ்ச்சிகள் (Conditional / Without Replacement)
Group 4: கேள்வி: ஒரு பையில் 5 சிவப்பு, 3 வெள்ளை. மாற்றாமல் தொடர்ந்து 2 பந்துகள் எடுத்தால் இரண்டும் சிவப்பு நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: P = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14
Group 2: கேள்வி: 52 சீட்டு கட்டிலிருந்து மாற்றாமல் தொடர்ந்து 2 சீட்டுகள் எடுத்தால் இரண்டும் ஏஸ் (Ace) ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: P = 4/52 × 3/51 = 12/2652 = 1/221
Group 1: கேள்வி: 10 மாணவர்களில் 4 சிறுவர்கள், 6 சிறுமிகள். மாற்றாமல் தொடர்ந்து 3 பேர் தேர்வு செய்யப்பட்டால் மூவரும் சிறுமி ஆக இருக்க நிகழ்தகவு யாது? தீர்வு: (Combination-முறை) P = (⁶C₃)/(¹⁰C₃) = 20/120 = 1/6 சார்பு-முறை: 6/10 × 5/9 × 4/8 = 120/720 = 1/6 ✓
மேற்கண்ட content-ல் "[சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]" எனக் குறிக்கப்பட்ட பிரிவுகள் (§4 Combination-அடிப்படையிலான நிகழ்தகவு, §5 இரு பகடை கூடுதல் அட்டவணை) மூல study material-ல் தெளிவாக அட்டவணையாக விளக்கப்படவில்லை; TNPSC exam pattern அடிப்படையில் புதிதாக organize செய்யப்பட்டு சேர்க்கப்பட்டவை. மேலும் §3 (Multiplication Theorem, Complementary Rule) explicit-ஆக விளக்கப்பட்டன.
📝 Terminology & Factual Corrections (மூல கோப்பிலிருந்து)
Combined_TA.md மூல கோப்பில் காணப்பட்ட பின்வரும் தவறுகள் இந்தப் பாடத்தில் சரிசெய்யப்பட்டுள்ளன:
| # | மூல கோப்பில் உள்ளது (தவறு) | சரிசெய்யப்பட்டது | குறிப்பு |
|---|---|---|---|
| 1 | வரி 14771: "க்ளவர் (Clever)" — Club-க்கான தவறான ஆங்கிலம் | சரியான English: "க்ளப்ஸ் (Clubs clubsuit)" — Playing card suit-ன் standard பெயர். | Translation error — "Clever" is a wrong word. |
| 2 | வரி 14773: "படம் (Picture) அட்டைகள் = (A, J, Q, K) = 4 × 4 = 16" | Standard TNPSC/international: Face cards = J, Q, K மட்டுமே (3 × 4 = 12). Ace (4 cards) தனியாக counted. Source-ன் "16" வழக்கத்திற்குப் புறம்பானது. | Terminology — face card definition. |
| 3 | TYPE 2 (வரி 14808): "ஒரு தலையாவது கிடைக்க நிகழ்தகவு = 3" மற்றும் "E = {HH, HT, TH, TT}" | சரியான E = {HH, HT, TH} (TT தவிர்த்து — no head). Source-ல் sample space-ஐ event-ஆக misidentified. | Event definition. |
| 4 | TYPE 8 (வரி 14926): "13 spade -லிருந்து ஒரு Spade ten அல்லது 3 ten -லிருந்து ஒரு ten" — வாக்கியம் தெளிவற்று | சரியான விளக்கம்: மொத்த 4 tens + 13 spades - 1 (Ten of spades — இரு தொகுப்பிலும் உள்ளது) = 16 favourable. | Union clarification. |
| 5 | Source-ல் Independent events, Complementary rule ஆகியவை explicit-ஆக formula வடிவில் விளக்கப்படவில்லை | §3-ல் தெளிவான theorem form-ல் விளக்கப்பட்டன. | Missing key theorems. |
✅ Verification Note
இந்த topic-ல் உள்ள அனைத்து solved examples-ன் (~36 கேள்விகள்: 12 Types × 3 Groups) இறுதி விடைகளும் Python code execution மூலம் (Fraction arithmetic + comb combinatorics) cross-verify செய்யப்பட்டுள்ளன.