புள்ளியியல்
புள்ளியியல் (Statistics): ஒரு தொகுப்பிலிருந்து பெறப்பட்ட தரவை (Data) — தொகுத்தல், வகைப்படுத்தல், பகுப்பாய்வு செய்து அர்த்தமான முடிவுகளை எடுக்கும் கணிதப் பிரிவு.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
முக்கிய அளவைகள் (Measures):
| வகை | அளவை | பொருள் |
|---|---|---|
| மையப்போக்கு அளவை (Central Tendency) | சராசரி (Mean), இடைநிலை (Median), முகடு (Mode) | தரவின் மையம் / பிரதிநிதி மதிப்பு |
| சிதறல் அளவை (Dispersion) | வீச்சு (Range), திட்டவிலக்கம் (SD), வேறுபாட்டியல் (Variance), கால்மான விலக்கம் (QD) | தரவு எவ்வளவு பரவியுள்ளது |
TNPSC-ல் Group 1 / Group 2-ல் பொதுவாக 2–3 வினாக்கள் கேட்கப்படும்.
2. மையப்போக்கு அளவைகள்
(a) கூட்டுச் சராசரி (Arithmetic Mean) — x̅
x̅ = (Σ x)/n = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ)/n
நிகழ்வெண் பரவலுக்கு (Frequency distribution):
x̅ = (Σ fᵢ xᵢ)/(Σ fᵢ)
(b) இடைநிலை (Median) — M
ஏறு வரிசையில் அமைக்கப்பட்ட தரவின் நடு உறுப்பு.
- ஒற்றைப்படை n எனில்: M = ((n+1))/2-வது உறுப்பு
- இரட்டைப்படை n எனில்: M = (n/2-வது + (n/2+1)-வது)/2 உறுப்புகளின் சராசரி
(c) முகடு (Mode) — M_o
தரவில் அதிக முறை வரும் உறுப்பு.
- முகடு இல்லாதது (No mode) — எல்லா உறுப்புகளும் ஒரு முறை மட்டுமே வந்தால்
- ஒற்றை முகடு (Unimodal) — ஒரு உறுப்பு மட்டும் அதிக முறை
- இரட்டை முகடு (Bimodal) — இரு உறுப்புகள் சம அதிக முறை
- பன்முகடு (Multimodal) — இரண்டுக்கு மேற்பட்டவை
(d) அனுபவ சூத்திரம் (Empirical Formula) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
முகடு, சராசரி, இடைநிலைக்கு இடையிலான தொடர்பு:
முகடு = 3 × இடைநிலை - 2 × சராசரி
இதிலிருந்து:
இடைநிலை = (முகடு + 2 × சராசரி)/3; சராசரி = (3 × இடைநிலை - முகடு)/2
3. மற்ற சராசரி வகைகள் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
(a) பெருக்கல் சராசரி (Geometric Mean) — G.M.
G.M. = √([)n]x₁ × x₂ × ⋯ × xₙ
இரு எண்களுக்கு: G.M. = √ab
(b) இசைச் சராசரி (Harmonic Mean) — H.M.
H.M. = n/(Σ 1/(xᵢ))
இரு எண்களுக்கு: H.M. = 2ab/(a+b)
தொடர்பு: A.M. ≥ G.M. ≥ H.M. (எப்போதும், மற்றும் A.M. × H.M. = G.M.²).
4. சிதறல் அளவைகள் (Measures of Dispersion)
(a) வீச்சு (Range)
R = L - S வீச்சுக் கெழு = (L - S)/(L + S)
L = மிகப்பெரிய மதிப்பு; S = மிகச்சிறிய மதிப்பு.
(b) திட்டவிலக்கம் (Standard Deviation) — sigma
வரையறை: சராசரியிலிருந்து ஒவ்வொரு உறுப்பின் விலக்கத்தின் வர்க்கக் கூட்டுச் சராசரியின் வர்க்கமூலம்.
sigma = √((Σ (x - x̅)²)/n) = √((Σ x²)/n - ((Σ x)/n)²)
(c) வேறுபாட்டியல் / விலக்க வர்க்கச் சராசரி (Variance) — sigma²
வேறுபாட்டியல் = sigma²
(d) கால்மான விலக்கம் (Quartile Deviation) — QD
QD = (Q₃ - Q₁)/2; கால்மான விலக்கக் கெழு = (Q₃ - Q₁)/(Q₃ + Q₁)
(e) மாறுபாட்டுக் கெழு (Coefficient of Variation) — CV
CV = sigma/(x̅) × 100 %
இது %-ல் சிதறலின் ஒப்பீட்டு அளவை — வெவ்வேறு அலகுள்ள தரவுகளை ஒப்பிட உதவும்.
5. மாற்றத்தின் விளைவுகள் — முக்கிய விதி — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
| செய்முறை | சராசரிக்கு விளைவு | திட்டவிலக்கத்திற்கு விளைவு |
|---|---|---|
| ஒவ்வொரு மதிப்பினுடன் k கூட்டல் / கழித்தல் | சராசரி +k / -k | மாறாது (sigma same) |
| ஒவ்வொரு மதிப்பையும் k-ஆல் பெருக்கல் / வகுத்தல் | சராசரி × k / ÷ k | sigma × |k| / ÷ |k| |
கவனிக்க: வேறுபாட்டியல் sigma²-ஆனது பெருக்கலில் k²-ஆல் மாறும்.
6. முதல் n இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
sigma = √((n² - 1)/12)
எ.கா: முதல் 10 இயல் எண்கள் ⇒ sigma = √(99/12) = √(8.25) ≈ 2.872
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: கூட்டுச் சராசரி (Arithmetic Mean)
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: 12, 15, 18, 20, 25 — இவற்றின் கூட்டுச் சராசரி யாது? தீர்வு: x̅ = 90/5 = 18
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: நிகழ்வெண் அட்டவணை: x = 5, 10, 15, 20; f = 3, 5, 4, 2. கூட்டுச் சராசரி யாது? தீர்வு: Σ fx = 15 + 50 + 60 + 40 = 165; Σ f = 14 x̅ = 165/14 = 11.79
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: 50 மாணவர்களின் சராசரி மதிப்பெண் = 45. தவறாக ஒருவரின் மதிப்பெண் 28-க்கு பதிலாக 82 சேர்க்கப்பட்டதாக கண்டறியப்பட்டது. திருத்தப்பட்ட சராசரி யாது? தீர்வு: வித்தியாசம் = 28 - 82 = -54 x̅_(new) = 45 + (-54)/50 = 45 - 1.08 = 43.92
Type 2: இடைநிலை (Median)
Group 4: கேள்வி: 8, 12, 15, 20, 25, 30, 35 — இடைநிலை யாது? தீர்வு: n = 7 (ஒற்றைப்படை); நடு உறுப்பு = 4-வது = 20
Group 2: கேள்வி: 18, 20, 26, 27, 28, 35, 35, 36, 40, 50 — இடைநிலை யாது? தீர்வு: n = 10 (இரட்டைப்படை); 5-வது + 6-வது / 2 = (28 + 35)/2 = 31.5
Group 1: கேள்வி: 11, 12, 15, 17, x+2, x+4, 30, 31, 35, 42 — இடைநிலை = 20 எனில் x யாது? தீர்வு: n = 10; இடைநிலை = ((x+2) + (x+4))/2 = (2x+6)/2 = x+3 x + 3 = 20 ⇒ x = 17
Type 3: முகடு (Mode)
Group 4: கேள்வி: 6, 5, 5, 4, 5, 5, 4, 4, 6 — முகடு யாது? தீர்வு: 5 நான்கு முறை (அதிகம்); ∴ M_o = 5
Group 2: கேள்வி: எண் அளவு = 4, 5, 6, 9; நிகழ்வெண் = 5, 4, 9, 6. முகடு யாது? தீர்வு: அதிக நிகழ்வெண் = 9; அதற்குரிய உறுப்பு = 6 M_o = 6
Group 1: கேள்வி: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6 — இதன் முகடு யாது? தீர்வு: 3 இரண்டு முறை, 5 இரண்டு முறை (இரு முகடுகள்) M_o = 3 மற்றும் 5 (இரட்டை முகடு — Bimodal)
Type 4: அனுபவ சூத்திரம் — முகடு, சராசரி, இடைநிலை
Group 4: கேள்வி: சராசரி = 66; முகடு = 60. இடைநிலை யாது? தீர்வு: 60 = 3M - 2 × 66 ⇒ 3M = 60 + 132 = 192 ⇒ M = 64
Group 2: கேள்வி: சராசரி = 20; இடைநிலை = 18. முகடு யாது? தீர்வு: M_o = 3 × 18 - 2 × 20 = 54 - 40 = 14
Group 1: கேள்வி: முகடு = 32; இடைநிலை = 28. சராசரி யாது? தீர்வு: x̅ = (3 × 28 - 32)/2 = (84 - 32)/2 = 26
Type 5: வீச்சு மற்றும் வீச்சுக் கெழு
Group 4: கேள்வி: 25, 67, 48, 53, 18, 39, 44 — வீச்சு மற்றும் வீச்சுக் கெழு யாது? தீர்வு: L = 67, S = 18 R = 49; கெழு = 49/85 ≈ 0.576
Group 2: கேள்வி: ஒரு கிரிக்கெட் வீரரின் மிகக் குறைந்த ஓட்டங்கள் = 5; வீச்சு = 87. மிக அதிக ஓட்டங்கள் யாது? தீர்வு: L = 87 + 5 = 92
Group 1: கேள்வி: ஒரு தரவின் L = 70.08; வீச்சு = 13.67. S யாது? மற்றும் வீச்சுக் கெழு? தீர்வு: S = 70.08 - 13.67 = 56.41 கெழு = (13.67)/(70.08 + 56.41) = (13.67)/(126.49) ≈ 0.108
Type 6: திட்டவிலக்கம் (Standard Deviation)
Group 4: கேள்வி: 2, 4, 6, 8, 10 — திட்டவிலக்கம் யாது? தீர்வு: x̅ = 6 Σ (x-x̅)² = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 sigma = √(40/5) = √8 = 2√2 ≈ 2.828
Group 2: கேள்வி: 14, 16, 20, 21, 25, 30 (6 மாணவர் மதிப்பெண்கள்) — திட்டவிலக்கம் யாது? தீர்வு: x̅ = 126/6 = 21 விலக்கங்கள்: -7, -5, -1, 0, 4, 9; வர்க்கங்கள்: 49, 25, 1, 0, 16, 81; கூடுதல் = 172 sigma = √(172/6) = √(28.67) ≈ 5.354
Group 1: கேள்வி: முதல் 10 இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம் யாது? தீர்வு: சூத்திரம் — sigma = √((n² - 1)/12) = √(99/12) = √(8.25) ≈ 2.872
Type 7: மாற்றத்தின் விளைவுகள் — கூட்டல்
Group 4: கேள்வி: x, y, z-ன் திட்டவிலக்கம் = t. x+5, y+5, z+5-ன் திட்டவிலக்கம் யாது? தீர்வு: மாறாது — sigma = t
Group 2: கேள்வி: 10 மதிப்புகளின் சராசரி = 30; திட்டவிலக்கம் = 5. ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும் 8 கழித்தால் புதிய சராசரி மற்றும் திட்டவிலக்கம் யாது? தீர்வு: புதிய சராசரி = 30 - 8 = 22; புதிய திட்டவிலக்கம் = 5 (மாறாது)
Group 1: கேள்வி: 8 மதிப்புகளின் திட்டவிலக்கம் = 6. ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும் 5 கழிக்கப்பட்டு 12 கூட்டப்பட்டால், புதிய வேறுபாட்டியல் யாது? தீர்வு: நிகர மாற்றம் = +7 (constant — SD மாறாது) sigma² = 36
Type 8: மாற்றத்தின் விளைவுகள் — பெருக்கல் / வகுத்தல்
Group 4: கேள்வி: 5 மதிப்புகளின் திட்டவிலக்கம் = 3. ஒவ்வொன்றையும் 2-ஆல் பெருக்கினால் புதிய திட்டவிலக்கம் யாது? தீர்வு: sigma_(new) = 3 × 2 = 6
Group 2: கேள்வி: 12 மதிப்புகளின் திட்டவிலக்கம் = 7. ஒவ்வொன்றையும் 5-ஆல் பெருக்கினால் புதிய திட்டவிலக்கம் மற்றும் வேறுபாட்டியல் யாது? தீர்வு: sigma_(new) = 7 × 5 = 35; sigma² = 1225
Group 1: கேள்வி: ஒரு தொகுப்பின் x̅ = 40; sigma = 8. ஒவ்வொரு மதிப்பையும் 1/2-ஆல் பெருக்கி, பின் 10 கூட்டினால் புதிய x̅ மற்றும் sigma யாது? தீர்வு: புதிய x̅ = 40/2 + 10 = 30; புதிய sigma = 8/2 = 4
Type 9: வேறுபாட்டியல் ↔ திட்டவிலக்கம்
Group 4: கேள்வி: திட்டவிலக்கம் = 1.6. வேறுபாட்டியல் யாது? தீர்வு: sigma² = 1.6² = 2.56
Group 2: கேள்வி: வேறுபாட்டியல் = 144. திட்டவிலக்கம் யாது? தீர்வு: sigma = √144 = 12
Group 1: கேள்வி: 5 மதிப்புகளின் விலக்க வர்க்கச் சராசரி = 9. ஒவ்வொன்றையும் 2-ஆல் பெருக்கினால் புதிய வேறுபாட்டியல் யாது? தீர்வு: sigma = 3; புதிய sigma = 6; புதிய sigma² = 36
Type 10: கால்மான விலக்கம் (Quartile Deviation)
Group 4: கேள்வி: Q₁ = 20; Q₃ = 40. கால்மான விலக்கம் யாது? தீர்வு: QD = (40 - 20)/2 = 10
Group 2: கேள்வி: QD = 2; Q₁ = 20. Q₃ மற்றும் கால்மான விலக்கக் கெழு யாது? தீர்வு: Q₃ = 2 × 2 + 20 = 24 கெழு = (24 - 20)/(24 + 20) = 4/44 = 1/11
Group 1: கேள்வி: ஒரு தொகுப்பின் Q₁ = 15; Q₃ = 45; x̅ = 30. கால்மான விலக்க கெழு மற்றும் CV (assuming sigma = QD) யாது? தீர்வு: கெழு = 30/60 = 0.5 sigma = QD = 15; CV = 15/30 × 100 = 50%
Type 11: பெருக்கல் சராசரி / இசைச் சராசரி
Group 4: கேள்வி: 5 மற்றும் 45-ன் பெருக்கல் சராசரி யாது? தீர்வு: G.M. = √(5 × 45) = √225 = 15
Group 2: கேள்வி: 2, 4, 8-ன் பெருக்கல் சராசரி யாது? தீர்வு: G.M. = √([)3]2 × 4 × 8 = √([)3]64 = 4
Group 1: கேள்வி: 6 மற்றும் 12-ன் இசைச் சராசரி யாது? தீர்வு: H.M. = (2 × 6 × 12)/(6 + 12) = 144/18 = 8 சரிபார்ப்பு: A.M. = 9, G.M. = √72 ≈ 8.485, H.M. = 8 — A > G > H ✓
Type 12: மாறுபாட்டுக் கெழு (Coefficient of Variation)
Group 4: கேள்வி: x̅ = 50; sigma = 10. CV யாது? தீர்வு: CV = 10/50 × 100 = 20%
Group 2: கேள்வி: இரு தொகுப்புகள்: A (x̅ = 60, sigma = 15); B (x̅ = 40, sigma = 12). எது அதிக நிலைத்தன்மை (Consistent) உள்ளது? தீர்வு: CV_A = 15/60 × 100 = 25%; CV_B = 12/40 × 100 = 30% CV குறைவானது ⇒ அதிக நிலைத்தன்மை; ∴ A அதிக நிலைத்தன்மையானது
Group 1: கேள்வி: ஒரு தொழிற்சாலையின் இரு ஊழியர்கள் தினசரி உற்பத்தி: X: x̅ = 100, sigma = 8; Y: x̅ = 120, sigma = 10. எவரது வேலை நிலைத்தன்மையானது (CV அடிப்படையில்)? தீர்வு: CV_X = 8%; CV_Y = 8.33% X-ன் CV சற்றே குறைவு ⇒ X-ன் வேலை சற்று நிலைத்தன்மையானது