சராசரி
சராசரி (Average / Mean): தரப்பட்ட எண்களின் கூடுதலை, எண்களின் எண்ணிக்கையால் வகுத்துக் கிடைக்கும் மதிப்பு.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
சராசரி = (கூடுதல் (Total Sum))/(எண்ணிக்கை (Count))
இதிலிருந்து:
கூடுதல் = சராசரி × எண்ணிக்கை
சராசரி என்பது ஒரு தொகுப்பின் "மையப்போக்கை" (Central Tendency) குறிக்கும் அளவீடு. TNPSC-ல் Group 4 / Group 2-ல் பொதுவாக 2–3 வினாக்கள் கேட்கப்படும்.
2. முக்கிய சூத்திரங்கள் — வரிசைகளுக்கு
| தொகுப்பு | சராசரி | உ.கா |
|---|---|---|
| முதல் n இயல் எண்கள் 1, 2, …, n | (n+1)/2 | n=10 ⇒ 5.5 |
| முதல் n ஒற்றைப்படை எண்கள் 1, 3, 5, … | n | n=5 ⇒ 5 |
| முதல் n இரட்டைப்படை எண்கள் 2, 4, 6, … | n+1 | n=8 ⇒ 9 |
| 1-லிருந்து n வரையிலான இயல் எண்களின் வர்க்கம் | ((n+1)(2n+1))/6 | — |
| 1-லிருந்து n வரையிலான இயல் எண்களின் கனம் | (n(n+1)²)/4 | — |
| n தொடர்ச்சி (consecutive) எண்கள் | நடு எண் (odd n) அல்லது இரு நடு எண்களின் சராசரி (even n) | {20,21,22,23,24} ⇒ 22 |
| கூட்டுத்தொடர் (Arithmetic Progression) | (a + l)/2 (முதல் + கடைசி)/2 | — |
3. போய்-வரும் பயணம் — சராசரி வேகம்
சம தூரம் (D) இரண்டு வேகங்களில்:
சராசரி வேகம் = 2xy/(x+y)
(Harmonic Mean — கூட்டுச் சராசரி பயன்படாது)
சம நேரம் இரண்டு வேகங்களில் — Arithmetic Mean:
சராசரி வேகம் = (x+y)/2
4. குழு மாற்றத்தால் ஏற்படும் சராசரி மாற்றம் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
| நிலை | அணுகுமுறை |
|---|---|
| ஒரு புதிய நபர் சேருதல் | புதிய கூடுதல் = பழைய கூடுதல் + புதியவரின் மதிப்பு. புதிய சராசரி = (புதிய கூடுதல்)/(n+1) |
| ஒரு நபர் நீக்கப்படுதல் | புதிய கூடுதல் = பழைய கூடுதல் - நீக்கப்பட்டவரின் மதிப்பு. புதிய சராசரி = (புதிய கூடுதல்)/(n-1) |
| ஒரு நபர் மாற்றப்படுதல் (Replacement) | சராசரி மாற்றம் Δ எனில், புதியவரின் மதிப்பு = பழையவரின் மதிப்பு + n Δ |
| குழுவின் ஒவ்வொருக்கும் k கூட்டல் / கழித்தல் | சராசரியும் k கூடும் / குறையும் |
| குழுவின் ஒவ்வொருக்கும் k-ஆல் பெருக்கல் / வகுத்தல் | சராசரியும் k-ஆல் பெருக்கப்படும் / வகுக்கப்படும் |
சூத்திரம் (Replacement):
புதியவரின் மதிப்பு = பழையவரின் மதிப்பு ± n × Δ
Δ > 0 ⇒ சராசரி அதிகரிப்பு; Δ < 0 ⇒ சராசரி குறைவு.
5. திருத்தப்பட்ட சராசரி (Corrected Average) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
ஒரு மதிப்பு தவறாக எடுக்கப்பட்டு பின் சரி செய்யப்பட்டால்:
திருத்தப்பட்ட சராசரி = தவறான சராசரி + (சரியான மதிப்பு - தவறான மதிப்பு)/n
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: அடிப்படை சராசரி
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: 12, 18, 25, 30, 15 — இவற்றின் சராசரி யாது? தீர்வு: = (12+18+25+30+15)/5 = 100/5 = 20
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: ஒரு மாணவர் 5 பாடங்களில் 75, 82, 68, 95, 90 மதிப்பெண்கள் பெற்றார். சராசரி மதிப்பெண் யாது? தீர்வு: = (75+82+68+95+90)/5 = 410/5 = 82
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: 8, 12, 15, x, 25, 30 — இவற்றின் சராசரி 18 எனில் x யாது? தீர்வு: 18 = (8+12+15+x+25+30)/6 = (90+x)/6 x = 108 - 90 = 18
Type 2: முதல் n இயல் / ஒற்றைப்படை / இரட்டைப்படை எண்களின் சராசரி
Group 4: கேள்வி: முதல் 10 இயல் எண்களின் சராசரி யாது? தீர்வு: = (10+1)/2 = 5.5
Group 2: கேள்வி: முதல் 12 இரட்டைப்படை எண்களின் சராசரி யாது? தீர்வு: = 12 + 1 = 13
Group 1: கேள்வி: முதல் 20 ஒற்றைப்படை எண்களின் கூடுதல் மற்றும் சராசரி யாது? தீர்வு: சராசரி = 20; கூடுதல் = 20 × 20 = 400
Type 3: தொடர்ச்சி எண்களின் சராசரி
Group 4: கேள்வி: 20-லிருந்து 30 வரையிலான எண்களின் சராசரி யாது? தீர்வு: முதல் + கடைசி / 2 = (20+30)/2 = 25
Group 2: கேள்வி: 6 அடுத்தடுத்த இரட்டைப்படை எண்களின் சராசரி = 247. அவற்றில் மிகச் சிறிய மற்றும் மிகப் பெரிய எண்களின் கூடுதல் யாது? தீர்வு: 6 எண்கள் — சராசரி நடுவில் — 242, 244, 246, 248, 250, 252 (சராசரி = (246+248)/2 = 247) கூடுதல் = 242 + 252 = 494
Group 1: கேள்வி: 5 அடுத்தடுத்த ஒற்றைப்படை எண்களின் சராசரி = 61. மிகப் பெரிய எண் யாது? தீர்வு: நடு எண் = 61; எண்கள் = 57, 59, 61, 63, 65 மிகப் பெரிய எண் = 65
Type 4: காணாத எண் x — சராசரி தந்து
Group 4: கேள்வி: 12, 18, x, 22, 28-ன் சராசரி = 20 எனில் x யாது? தீர்வு: 20 = (80+x)/5 ⇒ x = 20
Group 2: கேள்வி: 18, 41, x, 36, 31, 24, 37, 35, 27, 36-ன் சராசரி = 31. x யாது? தீர்வு: கூடுதல் (except x) = 285 31 × 10 = 285 + x ⇒ x = 25
Group 1: கேள்வி: இரு தொகுப்புகள்: 2, 7, 6, x-ன் சராசரி = 5; 18, 1, 6, x, y-ன் சராசரி = 10. y யாது? தீர்வு: (2+7+6+x)/4 = 5 ⇒ x = 5 (18+1+6+5+y)/5 = 10 ⇒ 30 + y = 50 ⇒ y = 20
Type 5: குழு மாற்றம் — புதிய நபர் / பொருள் சேர்தல்
Group 4: கேள்வி: 5 மாணவர்களின் சராசரி மதிப்பெண் = 60. புதிய மாணவர் ஒருவர் சேர்ந்த பிறகு சராசரி = 62. புதியவரின் மதிப்பெண் யாது? தீர்வு: மொத்தம் (5) = 300; மொத்தம் (6) = 372; புதியவர் = 72
Group 2: கேள்வி: 17 பெட்டிகளின் சராசரி எடை 92 கி.கி. மேலும் 18 பெட்டிகள் சேர்ந்த பிறகு சராசரி 95. புதிய 18 பெட்டிகளின் சராசரி எடை யாது? தீர்வு: 17 பெட்டி மொத்தம் = 17 × 92 = 1564 35 பெட்டி மொத்தம் = 35 × 95 = 3325 18 பெட்டி மொத்தம் = 3325 - 1564 = 1761; சராசரி = 1761/18 = 97.83 கி.கி
Group 1: கேள்வி: 24 மாணவர்களின் சராசரி எடை 35 கி.கி. ஆசிரியர் சேர்ந்த பிறகு சராசரி 400 கிராம் அதிகரிக்கிறது. ஆசிரியரின் எடை யாது? தீர்வு: Δ = 0.4; n_(new) = 25 புதிய சராசரி = 35.4; மொத்தம் = 25 × 35.4 = 885; முன் மொத்தம் = 24 × 35 = 840 ஆசிரியர் = 885 - 840 = 45 கி.கி குறுக்கு: ஆசிரியர் = புதிய சராசரி + n_(old) × Δ = 35.4 + 24 × 0.4 = 45 ✓
Type 6: நபர் / எண் நீக்கம்
Group 4: கேள்வி: 5 எண்களின் சராசரி 140. ஒரு எண் நீக்கப்பட்ட பிறகு சராசரி 130. நீக்கப்பட்ட எண் யாது? தீர்வு: 5 × 140 = 700; 4 × 130 = 520; நீக்கப்பட்டது = 180
Group 2: கேள்வி: 50 எண்களின் சராசரி = 30. அவற்றிலிருந்து 35 மற்றும் 40 நீக்கப்பட்டால் மீதி 48 எண்களின் சராசரி யாது? தீர்வு: மொத்தம் = 1500; நீக்கியது = 75; மீதி = 1425 சராசரி = 1425/48 ≈ 29.69
Group 1: கேள்வி: 10 எண்களின் சராசரி = 40. இரண்டு எண்கள் x, y நீக்கப்பட்டால் மீதி 8 எண்களின் சராசரி = 42. x + y யாது? தீர்வு: 10 × 40 = 400; 8 × 42 = 336; x + y = 400 - 336 = 64
Type 7: நபர் மாற்றம் (Replacement)
Group 4: கேள்வி: 8 நபர்களின் சராசரி எடை = 65 கி.கி. அவர்களில் ஒருவர் (75 கி.கி) நீக்கப்பட்டு புதிய நபர் சேர்ந்த பிறகு சராசரி = 66 கி.கி. புதிய நபரின் எடை யாது? தீர்வு: Δ = +1; புதியவர் = 75 + 8 × 1 = 83 கி.கி
Group 2: கேள்வி: ஒரு குழுவில் (10 நபர்) சராசரி வயது = 25. ஒருவர் (40 வயது) நீக்கப்பட்டு புதிய நபர் சேர்ந்த பிறகு சராசரி = 24. புதியவரின் வயது யாது? தீர்வு: Δ = -1; புதியவர் = 40 + 10 × (-1) = 30
Group 1: கேள்வி: 6 பேரின் சராசரி எடை = 63 கி.கி. அவர்களில் ஒருவர் மாற்றப்பட்டு புதிய நபர் சேர்ந்ததால் சராசரி = 65 கி.கி. புதியவர் நீக்கப்பட்டவரை விட எத்தனை கி.கி அதிகம்? தீர்வு: Δ = +2; அதிகம் = n × Δ = 6 × 2 = 12 கி.கி
Type 8: குழு பிரிவினை (Subgroup Averages)
Group 4: கேள்வி: 7 நபர்களின் சராசரி வயது = 26. முதல் 3 பேரின் சராசரி = 19; கடைசி 3 பேரின் மொத்த வயது = 96. மீதியுள்ள ஒருவரின் வயது யாது? தீர்வு: 7 × 26 = 182; 3 × 19 = 57; மொத்தம் நீக்கல் = 57 + 96 = 153 ∴ 182 - 153 = 29
Group 2: கேள்வி: 35 மாணவர்களின் சராசரி வயது = 16. அதில் 21 மாணவர்களின் சராசரி = 14. மீதியுள்ள 14 மாணவர்களின் சராசரி யாது? தீர்வு: மொத்தம் = 560; 21 × 14 = 294; மீதி = 266; சராசரி = 266/14 = 19
Group 1: கேள்வி: 25 எண்களின் சராசரி = 18. முதல் 12-ன் சராசரி = 14; கடைசி 12-ன் சராசரி = 17. 13-வது எண் யாது? தீர்வு: 25 × 18 = 450; 12 × 14 = 168; 12 × 17 = 204 13-வது எண் = 450 - 168 - 204 = 78
Type 9: தவறான மதிப்பு — திருத்தப்பட்ட சராசரி
Group 4: கேள்வி: 30 மாணவர்களின் சராசரி மதிப்பெண் = 59. ஒருவரின் மதிப்பெண் 19-ஆக தவறாக சேர்க்கப்பட்டு, சரியான மதிப்பெண் = 79. திருத்தப்பட்ட சராசரி யாது? தீர்வு: = 59 + (79 - 19)/30 = 59 + 2 = 61
Group 2: கேள்வி: 20 மாணவர்களின் சராசரி உயரம் = 160 செ.மீ ஆக கணக்கிடப்பட்டது. சரிபார்க்கும் போது 152-க்கு பதிலாக 132 தவறாக எடுத்திருந்தது கண்டறியப்பட்டது. சரியான சராசரி யாது? தீர்வு: தவறான மொத்தம் = 3200; சரியான மொத்தம் = 3200 + (152 - 132) = 3220 சரியான சராசரி = 3220/20 = 161
Group 1: கேள்வி: 25 மாணவர்களின் சராசரி மதிப்பெண் = 74. மூன்று மதிப்பெண்கள் — 62, 58, 46 — தவறாக 26, 85, 46 என பதிவு செய்யப்பட்டன. திருத்தப்பட்ட சராசரி யாது? தீர்வு: 62 - 26 = 36; 58 - 85 = -27; 46 - 46 = 0; நிகர கூடுதல் = 9 திருத்தப்பட்ட சராசரி = 74 + 9/25 = 74.36
Type 10: போய்-வரும் பயணம் — சராசரி வேகம்
Group 4: கேள்வி: ஒருவர் A → B-க்கு 50 கி.மீ/மணி, B → A-க்கு 30 கி.மீ/மணி வேகத்தில் பயணித்தால் சராசரி வேகம் யாது? தீர்வு: = (2 × 50 × 30)/80 = 3000/80 = 37.5 கி.மீ/மணி
Group 2: கேள்வி: ஒரு நபர் ஒரு பயணத்தின் முதல் அரை பகுதியை 40 கி.மீ/மணியிலும், இரண்டாம் அரை பகுதியை 60 கி.மீ/மணியிலும் கடந்தார். சராசரி வேகம் யாது? தீர்வு: = (2 × 40 × 60)/100 = 48 கி.மீ/மணி
Group 1: கேள்வி: ஒருவர் ஒரு பயணத்தின் 1/3 பகுதியை 10 கி.மீ/மணியிலும், அடுத்த 1/3-ஐ 20 கி.மீ/மணியிலும், மீதி 1/3-ஐ 30 கி.மீ/மணியிலும் பயணித்தால் சராசரி வேகம் யாது? தீர்வு: சராசரி வேகம் = D/(மொத்த நேரம்) = D/((D/3)/10 + (D/3)/20 + (D/3)/30) = 1/(1/30 + 1/60 + 1/90); மீ.சி.ம 180: = 1/((6+3+2)/180) = 180/11 ≈ 16.36 கி.மீ/மணி
Type 11: பல சராசரிகள் — ஒருவர் காணல்
Group 4: கேள்வி: A, B சராசரி வருமானம் = 5000; B, C சராசரி = 6000; C, A சராசரி = 5500. A + B + C யாது? தீர்வு: A + B = 10000; B + C = 12000; C + A = 11000 கூட்டு: 2(A+B+C) = 33000 ⇒ A+B+C = 16500
Group 2: கேள்வி: A + B = 10100; B + C = 12500; C + A = 10400. C-ன் வருமானம் யாது? தீர்வு: A + B + C = 16500 C = (A+B+C) - (A+B) = 16500 - 10100 = 6400
Group 1: கேள்வி: நான்கு நபர்கள் A, B, C, D-ல் ஒவ்வொருவரை நீக்கினால் மீதி மூவரின் சராசரி முறையே = 20, 21, 22, 23. மொத்த சராசரி யாது? தீர்வு: B+C+D = 60; A+C+D = 63; A+B+D = 66; A+B+C = 69 கூட்டு: 3(A+B+C+D) = 258 ⇒ A+B+C+D = 86 ∴ சராசரி = 86/4 = 21.5
Type 12: விகிதம் + சராசரி
Group 4: கேள்வி: மூன்று பொருள்களின் விகிதம் 3 : 5 : 7; சராசரி விலை ரூ. 15000. குறைவான விலை யாது? தீர்வு: மொத்தம் = 45000; 15x = 45000 ⇒ x = 3000 குறைவானது = 3x = 9000
Group 2: கேள்வி: A, B, C சராசரி வயது = 25; அவர்கள் விகிதம் = 3 : 5 : 7. B-ன் வயது யாது? தீர்வு: மொத்தம் = 75; 15x = 75 ⇒ x = 5 B = 5x = 25
Group 1: கேள்வி: நான்கு எண்கள் 2 : 3 : 5 : 7 விகிதத்தில். சராசரி = 34. மிகச் சிறிய எண் யாது? தீர்வு: மொத்தம் = 4 × 34 = 136; 17x = 136 ⇒ x = 8 மிகச் சிறிய எண் = 2x = 16
Type 13: மாறாத எண் கூட்டல் / பெருக்கல்
Group 4: கேள்வி: 5 எண்களின் சராசரி = 20. ஒவ்வொரு எண்ணுடன் 6 கூட்டினால் புதிய சராசரி யாது? தீர்வு: புதிய சராசரி = 20 + 6 = 26
Group 2: கேள்வி: 10 எண்களின் சராசரி = 45. ஒவ்வொரு எண்ணையும் 3-ஆல் பெருக்கி, பின் 10 கழித்தால் புதிய சராசரி யாது? தீர்வு: 45 × 3 = 135; 135 - 10 = 125
Group 1: கேள்வி: 8 எண்களின் சராசரி = 40. முதல் 4 எண்களிலிருந்து தலா 5 கழித்து, மீதி 4 எண்களுடன் தலா 10 கூட்டினால் புதிய சராசரி யாது? தீர்வு: நிகர மாற்றம் = 4 × (-5) + 4 × (+10) = -20 + 40 = +20 புதிய சராசரி = 40 + 20/8 = 42.5
Type 14: குடும்பம் / குழு — சிறப்பு நிலைகள்
Group 4: கேள்வி: ஒரு குடும்பத்தில் 4 பேரின் சராசரி வயது = 30. புதிதாக பிறந்த குழந்தை (0 வயது) சேர்ந்தால் புதிய சராசரி யாது? தீர்வு: மொத்தம் = 120; புதிய மொத்தம் = 120; 5 பேர் ⇒ சராசரி = 24
Group 2: கேள்வி: 5 பேரின் சராசரி வயது = 20. 3 ஆண்டு கழித்து ஒவ்வொருவரின் வயதும் 3 கூடும். புதிய சராசரி யாது? தீர்வு: புதிய சராசரி = 20 + 3 = 23
Group 1: கேள்வி: 10 மாணவர்களின் சராசரி வயது = 14. 5 ஆண்டு கழித்து இரு புதிய மாணவர்கள் (சராசரி வயது 16) சேர்ந்தார்கள். இப்போது வகுப்பின் சராசரி யாது? தீர்வு: 5 ஆண்டு கழித்து பழைய 10 பேரின் சராசரி = 19; மொத்தம் = 190 புதிய 2 பேரின் மொத்தம் = 32 மொத்தம் (12 பேர்) = 222; சராசரி = 222/12 = 18.5