அளவீடுகள்
அளவீடு (Mensuration): வடிவங்களின் நீளம், பரப்பளவு, சுற்றளவு, மேற்பரப்பு, கன அளவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடும் கணிதப் பிரிவு.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
- 2D (இரு பரிமாண) வடிவங்கள்: சதுரம், செவ்வகம், முக்கோணம், வட்டம் — பரப்பளவு (Area) மற்றும் சுற்றளவு (Perimeter).
- 3D (முப்பரிமாண) வடிவங்கள்: கன சதுரம், கனச் செவ்வகம், உருளை, கூம்பு, கோளம் — மேற்பரப்பு (Surface Area) மற்றும் கன அளவு (Volume).
முக்கிய குறிப்புகள்:
- π = 22/7 ≈ 3.14159 (TNPSC-ல் பொதுவாக 22/7 பயன்படுத்தப்படும், r 7-ன் மடங்காக இருந்தால்).
- அலகுகள்: நீளம் — மீட்டர்/செ.மீ; பரப்பு — மீ² / செ.மீ²; கன அளவு — மீ³ / செ.மீ³ / லிட்டர் (1 லிட்டர் = 1000 செ.மீ³).
2. இரு பரிமாண வடிவங்கள் — சூத்திரங்கள்
| வடிவம் | பரப்பளவு (Area) | சுற்றளவு (Perimeter) | மூலைவிட்டம் / குறிப்பு |
|---|---|---|---|
| சதுரம் (Square) — பக்கம் a | a² | 4a | மூலைவிட்டம் = a√2 |
| செவ்வகம் (Rectangle) — l, b | l × b | 2(l+b) | மூலைவிட்டம் = √(l²+b²) |
| முக்கோணம் (Triangle) — அடி b, உயரம் h | 1/2 × b × h | a + b + c | — |
| செங்கோண முக்கோணம் — கால்கள் a, b | 1/2ab | a + b + c | கர்ணம் c = √(a²+b²) |
| சமபக்க முக்கோணம் — பக்கம் a | (√3)/4a² | 3a | உயரம் = (√3)/2a |
| இணைகரம் (Parallelogram) — b, h | b × h | 2(a+b) | — |
| சாய்சதுரம் (Rhombus) — மூலைவிட்டம் d₁, d₂ | 1/2 d₁ d₂ | 4a | பக்கம் a = 1/2√(d₁²+d₂²) |
| சரிவகம் (Trapezium) — இணை பக்கம் a, b; உயரம் h | 1/2h(a+b) | பக்கங்கள் அனைத்தும் | — |
| வட்டம் (Circle) — ஆரம் r | π r² | 2π r | — |
| அரை வட்டம் (Semi-circle) | (π r²)/2 | (π + 2)r | — |
| கால் வட்டம் (Quadrant) | (π r²)/4 | ((π)/2 + 2)r | — |
| வட்ட வளையம் (Ring/Annulus) — வெளி R, உள் r | π(R² - r²) | உள் + வெளி சுற்றளவு | — |
Heron-ன் சூத்திரம் (எந்த முக்கோணத்திற்கும்)
A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2
3. முப்பரிமாண வடிவங்கள் — சூத்திரங்கள்
| வடிவம் | கன அளவு (Volume) | வளைபரப்பு (CSA/LSA) | மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) |
|---|---|---|---|
| கன சதுரம் (Cube) — பக்கம் a | a³ | 4a² | 6a² |
| கனச் செவ்வகம் (Cuboid) — l, b, h | lbh | 2h(l+b) (சுவர்கள்) | 2(lb+bh+lh) |
| உருளை — திண்மம் (Solid Cylinder) r, h | π r² h | 2π rh | 2π r(h+r) |
| உள்ளீடற்ற உருளை (Hollow Cylinder) R, r, h | π h(R²-r²) | 2π h(R+r) | 2π(R+r)(R-r+h) |
| கூம்பு — திண்மம் (Solid Cone) r, h | 1/3π r² h | π r l | π r (l+r) |
| கோளம் (Sphere) — ஆரம் r | 4/3π r³ | — | 4π r² |
| உள்ளீடற்ற கோளம் (Hollow Sphere) R, r | 4/3π(R³-r³) | — | — |
| அரைக்கோளம் — திண்மம் (Solid Hemisphere) r | 2/3π r³ | 2π r² | 3π r² |
கூம்பின் சாய் உயரம்
l = √(h² + r²)
கன சதுரம் / கனச் செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டம்
கன சதுரம்: d = a√3; கனச் செவ்வகம்: d = √(l²+b²+h²)
4. அலகு மாற்றம் — முக்கிய நினைவூட்டல்
| மாற்றம் | பெருக்கல் | குறிப்பு |
|---|---|---|
| 1 மீ = 100 செ.மீ | பரப்பு: 1 மீ² = 10000 செ.மீ²; கன: 1 மீ³ = 10⁶ செ.மீ³ | |
| 1 லிட்டர் = 1000 செ.மீ³ | 1 கிலோ லிட்டர் = 1 மீ³ | |
| 1 ஏக்கர் = 4046.86 மீ² | (TNPSC-ல் அரிது) | |
| 1 ஹெக்டேர் = 10000 மீ² |
5. முக்கிய கருத்துகள் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
(a) பக்கம் k-மடங்கானால் — பரப்பு / கன அளவு மாற்றம்
| பரிமாணம் | பக்கம் k× ஆனால் | பரப்பு k²× | கன அளவு k³× |
|---|
- உ.கா: பக்கம் 2 மடங்கு ⇒ பரப்பு 4 மடங்கு, கன அளவு 8 மடங்கு.
- இதுவே "பக்கம் x% அதிகரிப்பு" கேள்விகளுக்கு அடிப்படை.
(b) பொருள் உருகி வேறு வடிவமாக மாறினால்
கன அளவு மாறாது. எ.கா: உருளை உருகி n சிறிய கோளங்களாக மாறினால், உருளையின் கன அளவு = n × கோளத்தின் கன அளவு.
(c) நான்கு சுவர்கள் (அறை)
= 2h(l + b) மீ² — கூரை / தளம் விலக்கிய பக்கச் சுவர்கள் மட்டும்.
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: சதுரம் / செவ்வகம் — பரப்பளவு, சுற்றளவு
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: 8 செ.மீ பக்கம் கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு மற்றும் சுற்றளவு யாது? தீர்வு: பரப்பு = 8² = 64 செ.மீ²; சுற்றளவு = 4 × 8 = 32 செ.மீ
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் 18 மீ, அகலம் 12 மீ. அதன் பரப்பு, சுற்றளவு மற்றும் மூலைவிட்டம் யாது? தீர்வு: பரப்பு = 18 × 12 = 216 மீ² சுற்றளவு = 2(18+12) = 60 மீ மூலைவிட்டம் = √(18² + 12²) = √(324+144) = √468 ≈ 21.63 மீ
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: ஒரு செவ்வக நிலத்தின் நீளம் அகலத்தை விட 10 மீ அதிகம். அதன் சுற்றளவு 100 மீ எனில், பரப்பு யாது? தீர்வு: l = b + 10; 2(l+b) = 100 ⇒ l+b = 50 ⇒ (b+10)+b = 50 ⇒ b = 20, l = 30 பரப்பு = 30 × 20 = 600 மீ²
Type 2: முக்கோணம் — பரப்பு
Group 4: கேள்வி: அடி 12 செ.மீ, உயரம் 9 செ.மீ கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு யாது? தீர்வு: A = 1/2 × 12 × 9 = 54 செ.மீ²
Group 2: கேள்வி: பக்கங்கள் 6, 8, 10 செ.மீ கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு யாது? தீர்வு: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ⇒ செங்கோண முக்கோணம் (6, 8 கால்கள்) A = 1/2 × 6 × 8 = 24 செ.மீ²
Group 1: கேள்வி: பக்கங்கள் 13, 14, 15 செ.மீ கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு யாது? (Heron-ன் சூத்திரம்) தீர்வு: s = (13+14+15)/2 = 21 A = √(21(21-13)(21-14)(21-15)) = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 ∴ 84 செ.மீ²
Type 3: சமபக்க முக்கோணம்
Group 4: கேள்வி: பக்கம் 10 செ.மீ கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பு யாது? (√3 = 1.732) தீர்வு: A = (√3)/4 × 100 = 25√3 = 25 × 1.732 = 43.3 செ.மீ²
Group 2: கேள்வி: சுற்றளவு 18 செ.மீ கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பு யாது? தீர்வு: பக்கம் a = 6 A = (√3)/4 × 36 = 9√3 ≈ 15.59 செ.மீ²
Group 1: கேள்வி: ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பு 16√3 செ.மீ². அதன் பக்கம் மற்றும் உயரம் யாது? தீர்வு: (√3)/4a² = 16√3 ⇒ a² = 64 ⇒ a = 8 h = (√3)/2 × 8 = 4√3 ≈ 6.93 செ.மீ
Type 4: சாய்சதுரம் / இணைகரம் / சரிவகம்
Group 4: கேள்வி: மூலைவிட்டங்கள் 16 செ.மீ மற்றும் 12 செ.மீ கொண்ட சாய்சதுரத்தின் பரப்பு யாது? தீர்வு: A = 1/2 × 16 × 12 = 96 செ.மீ²
Group 2: கேள்வி: இணை பக்கங்கள் 10 செ.மீ மற்றும் 14 செ.மீ; உயரம் 8 செ.மீ கொண்ட சரிவகத்தின் பரப்பு யாது? தீர்வு: A = 1/2 × 8 × (10 + 14) = 1/2 × 8 × 24 = 96 செ.மீ²
Group 1: கேள்வி: ஒரு சாய்சதுரத்தின் பக்கம் 13 செ.மீ; ஒரு மூலைவிட்டம் 24 செ.மீ. மற்றொரு மூலைவிட்டம் மற்றும் பரப்பு யாது? தீர்வு: பக்கம் a = 1/2√(d₁²+d₂²) 13 = 1/2√(24² + d₂²) ⇒ 26 = √(576 + d₂²) ⇒ 676 = 576 + d₂² ⇒ d₂ = 10 A = 1/2 × 24 × 10 = 120 செ.மீ²
Type 5: வட்டம் / அரைவட்டம் / வளையம்
Group 4: கேள்வி: ஆரம் 7 செ.மீ கொண்ட வட்டத்தின் பரப்பு மற்றும் சுற்றளவு யாது? (π = 22/7) தீர்வு: A = 22/7 × 49 = 154 செ.மீ² C = 2 × 22/7 × 7 = 44 செ.மீ
Group 2: கேள்வி: விட்டம் 14 செ.மீ கொண்ட அரை வட்டத்தின் பரப்பு மற்றும் சுற்றளவு யாது? தீர்வு: r = 7 A = (π r²)/2 = (22/7 × 49)/2 = 77 செ.மீ² P = (π + 2)r = (22/7 + 2) × 7 = (36/7) × 7 = 36 செ.மீ
Group 1: கேள்வி: வெளி ஆரம் 21 செ.மீ, உள் ஆரம் 14 செ.மீ கொண்ட வட்ட வளையத்தின் பரப்பு யாது? தீர்வு: A = π(R² - r²) = 22/7(441 - 196) = 22/7 × 245 = 770 செ.மீ²
Type 6: பக்கம் மாற்றத்தால் ஏற்படும் பரப்பு / சுற்றளவு மாற்றம்
Group 4: கேள்வி: ஒரு சதுரத்தின் பக்கம் 50% அதிகரிக்கப்பட்டால், பரப்பு எத்தனை % அதிகரிக்கும்? தீர்வு: பக்கம் 1.5× ⇒ பரப்பு (1.5)² = 2.25×; அதிகரிப்பு = 125%
Group 2: கேள்வி: ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் 20% அதிகரித்தும், அகலம் 10% குறைந்தும் மாறினால், பரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் யாது? தீர்வு: புதிய பரப்பு விகிதம் = 1.20 × 0.90 = 1.08 ∴ பரப்பு 8% அதிகரிப்பு
Group 1: கேள்வி: ஒரு கன சதுரத்தின் பக்கம் 10% அதிகரிக்கப்பட்டால் கன அளவு எத்தனை % அதிகரிக்கும்? தீர்வு: பக்கம் 1.10× ⇒ கன அளவு (1.10)³ = 1.331× ∴ 33.1% அதிகரிப்பு
Type 7: கன சதுரம் — கன அளவு, TSA, மூலைவிட்டம்
Group 4: கேள்வி: பக்கம் 5 செ.மீ கொண்ட கன சதுரத்தின் கன அளவு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பு யாது? தீர்வு: V = 5³ = 125 செ.மீ³; TSA = 6 × 25 = 150 செ.மீ²
Group 2: கேள்வி: கன அளவு 216 செ.மீ³ கொண்ட கன சதுரத்தின் பக்கம், மொத்தப் புறப்பரப்பு மற்றும் மூலைவிட்டம் யாது? தீர்வு: a = √([)3]216 = 6 TSA = 6 × 36 = 216 செ.மீ²; d = 6√3 ≈ 10.39 செ.மீ
Group 1: கேள்வி: மொத்தப் புறப்பரப்பு 384 செ.மீ² கொண்ட கன சதுரத்தின் கன அளவு யாது? தீர்வு: 6a² = 384 ⇒ a² = 64 ⇒ a = 8 V = 512 செ.மீ³
Type 8: கனச் செவ்வகம் — கன அளவு, TSA, சுவர்கள்
Group 4: கேள்வி: நீளம் 10, அகலம் 6, உயரம் 4 செ.மீ கனச் செவ்வகத்தின் கன அளவு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பு யாது? தீர்வு: V = 10 × 6 × 4 = 240 செ.மீ³ TSA = 2(lb + bh + lh) = 2(60+24+40) = 2 × 124 = 248 செ.மீ²
Group 2: கேள்வி: ஒரு அறை: 8 மீ × 6 மீ × 5 மீ. நான்கு சுவர்களின் பரப்பு யாது? சுவரின் ஒரு ச.மீ க்கு ரூ. 50 வண்ணம் பூச செலவு எவ்வளவு? தீர்வு: நான்கு சுவர்களின் பரப்பு = 2h(l+b) = 2 × 5 × (8+6) = 140 மீ² செலவு = 140 × 50 = ரூ. 7000
Group 1: கேள்வி: ஒரு கனச் செவ்வக பெட்டி: நீளம் 12, அகலம் 8, உயரம் 6 செ.மீ. அதன் மூலைவிட்டம் மற்றும் அதற்குள் அடங்கக்கூடிய மிகப்பெரிய கோளத்தின் ஆரம் யாது? தீர்வு: மூலைவிட்டம் = √(144 + 64 + 36) = √244 ≈ 15.62 செ.மீ கோளத்தின் விட்டம் = மிகச்சிறிய பக்கம் = 6; ஆரம் = 3 செ.மீ
Type 9: உருளை (Cylinder) — கன அளவு, CSA, TSA
Group 4: கேள்வி: ஆரம் 7 செ.மீ, உயரம் 10 செ.மீ உள்ள உருளையின் கன அளவு யாது? (π = 22/7) தீர்வு: V = 22/7 × 49 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 செ.மீ³
Group 2: கேள்வி: அதே உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) யாது? தீர்வு: CSA = 2π rh = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 செ.மீ² TSA = 2π r(h+r) = 2 × 22/7 × 7 × 17 = 44 × 17 = 748 செ.மீ²
Group 1: கேள்வி: ஒரு உருளையின் அடிப் பரப்பு 154 செ.மீ², உயரம் 20 செ.மீ. அதன் கன அளவு மற்றும் CSA யாது? தீர்வு: π r² = 154 ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7 V = 154 × 20 = 3080 செ.மீ³ CSA = 2π rh = 2 × 22/7 × 7 × 20 = 880 செ.மீ²
Type 10: கூம்பு (Cone) — கன அளவு, CSA, TSA, சாய் உயரம்
Group 4: கேள்வி: ஆரம் 7 செ.மீ, உயரம் 24 செ.மீ கொண்ட கூம்பின் சாய் உயரம் யாது? தீர்வு: l = √(h² + r²) = √(576 + 49) = √625 = 25 செ.மீ
Group 2: கேள்வி: அதே கூம்பின் கன அளவு மற்றும் CSA யாது? தீர்வு: V = 1/3π r² h = 1/3 × 22/7 × 49 × 24 = (22 × 7 × 24)/3 = 3696/3 = 1232 செ.மீ³ CSA = π r l = 22/7 × 7 × 25 = 550 செ.மீ²
Group 1: கேள்வி: ஆரம் 6 செ.மீ, சாய் உயரம் 10 செ.மீ கொண்ட கூம்பின் மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) மற்றும் கன அளவு யாது? தீர்வு: h = √(l² - r²) = √(100 - 36) = 8 TSA = π r(l+r) = 22/7 × 6 × 16 = 2112/7 ≈ 301.71 செ.மீ² V = 1/3π r² h = 1/3 × 22/7 × 36 × 8 = 6336/21 ≈ 301.71 செ.மீ³
Type 11: கோளம் (Sphere) — கன அளவு, TSA
Group 4: கேள்வி: ஆரம் 7 செ.மீ கொண்ட கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு யாது? தீர்வு: TSA = 4π r² = 4 × 22/7 × 49 = 616 செ.மீ²
Group 2: கேள்வி: அதே கோளத்தின் கன அளவு யாது? தீர்வு: V = 4/3π r³ = 4/3 × 22/7 × 343 = (4 × 22 × 49)/3 = 4312/3 ≈ 1437.33 செ.மீ³
Group 1: கேள்வி: ஒரு கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு 154 செ.மீ². அதன் ஆரம் மற்றும் கன அளவு யாது? தீர்வு: 4π r² = 154 ⇒ r² = (154 × 7)/(4 × 22) = 49/4 ⇒ r = 3.5 செ.மீ V = 4/3 × 22/7 × (3.5)³ = 4/3 × 22/7 × 42.875 = 3773/21 ≈ 179.67 செ.மீ³
Type 12: அரைக்கோளம் (Hemisphere)
Group 4: கேள்வி: ஆரம் 7 செ.மீ கொண்ட திண்ம அரைக்கோளத்தின் CSA மற்றும் TSA யாது? தீர்வு: CSA = 2π r² = 2 × 22/7 × 49 = 308 செ.மீ² TSA = 3π r² = 3 × 22/7 × 49 = 462 செ.மீ²
Group 2: கேள்வி: அதே அரைக்கோளத்தின் கன அளவு யாது? தீர்வு: V = 2/3π r³ = 2/3 × 22/7 × 343 = (2 × 22 × 49)/3 = 2156/3 ≈ 718.67 செ.மீ³
Group 1: கேள்வி: ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் TSA = 462 செ.மீ². அதன் கன அளவு யாது? தீர்வு: 3π r² = 462 ⇒ r² = (462 × 7)/(3 × 22) = 49 ⇒ r = 7 V = 2/3 × 22/7 × 343 ≈ 718.67 செ.மீ³
Type 13: நிலம் / வழி — பயன்பாட்டு கணக்கு
Group 4: கேள்வி: 20 மீ × 15 மீ கொண்ட நிலத்தை 2 மீ × 2 மீ சதுர ஓடுகளால் மூட வேண்டியிருந்தால் எத்தனை ஓடுகள் தேவை? தீர்வு: நிலம் பரப்பு = 300 மீ²; ஓட்டின் பரப்பு = 4 மீ² ஓடுகள் = 300/4 = 75
Group 2: கேள்வி: ஒரு செவ்வக தோட்டம் 50 மீ × 40 மீ. உள்ளே 2 மீ அகல வழி எல்லா பக்கமும் அமைத்தால், அந்த வழியின் பரப்பு யாது? தீர்வு: வெளி பரப்பு = 50 × 40 = 2000 உள் நிலம் = (50-4)(40-4) = 46 × 36 = 1656 வழியின் பரப்பு = 2000 - 1656 = 344 மீ²
Group 1: கேள்வி: 22 மீ சுற்றளவு கொண்ட வட்ட வடிவ நிலம். சுற்றி 3.5 மீ அகல வழி வெளியே அமைக்கப்பட்டால், வழியின் பரப்பு யாது? (π = 22/7) தீர்வு: 2π r = 22 ⇒ r = 3.5 மீ வெளி ஆரம் R = 3.5 + 3.5 = 7 வழியின் பரப்பு = π(R² - r²) = 22/7(49 - 12.25) = 22/7 × 36.75 = 115.5 மீ²
Type 14: வடிவம் மாற்றம் (உருகி வேறாக மாறுதல்)
Group 4: கேள்வி: பக்கம் 6 செ.மீ கொண்ட கன சதுரம் உருகி கோள வடிவத்தில் மாற்றப்பட்டால், அந்த கோளத்தின் ஆரம் யாது? (π = 22/7) தீர்வு: கன அளவு மாறாது — 6³ = 4/3π r³ ⇒ 216 = 4/3 × 22/7 × r³ r³ = (216 × 3 × 7)/(4 × 22) = 4536/88 = 51.545 r = √([)3]51.545 ≈ 3.72 செ.மீ
Group 2: கேள்வி: ஆரம் 6 செ.மீ, உயரம் 27 செ.மீ கொண்ட உருளை உருகி கூம்பாக — அதே ஆரத்தில் — மாற்றப்பட்டால் கூம்பின் உயரம் யாது? தீர்வு: π r² h_(cyl) = 1/3π r² h_(cone) 27 = (h₍cone))/3 ⇒ h_(cone) = 81 செ.மீ
Group 1: கேள்வி: ஆரம் 10.5 செ.மீ கொண்ட ஒரு கோளம் உருகி ஆரம் 3.5 செ.மீ கொண்ட n சிறிய கோளங்களாக மாற்றப்பட்டால், n யாது? தீர்வு: 4/3π R³ = n × 4/3π r³ n = (R/r)³ = ((10.5)/(3.5))³ = 3³ = 27