கூட்டு வட்டி
கூட்டு வட்டி (Compound Interest): ஒரு குறிப்பிட்ட காலம் முடிந்த பின், அந்தக் காலத்திற்குக் கிடைத்த வட்டியை அசலுடன் சேர்த்து, அந்தப் புதிய தொகைக்கு அடுத்த காலத்திற்கான வட்டி கணக்கிடப்படும். "வட்டிக்கும் வட்டி" என்று சொல்லலாம்.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
- தனி வட்டி: அசல் மட்டுமே அடிப்படை; ஒவ்வொரு ஆண்டும் ஒரே அளவு வட்டி.
- கூட்டு வட்டி: அசல் + முந்தைய வட்டி; ஆண்டு தோறும் அதிகரிக்கும் வட்டி.
TNPSC-ல் Bank / LIC / மக்கள் தொகை / விலை மதிப்பு குறைவு (Depreciation) தொடர்பான கேள்விகள் அனைத்தும் இந்த சூத்திரத்தையே பயன்படுத்தும்.
2. குறியீடுகள்
| குறியீடு | பொருள் |
|---|---|
| P | அசல் (Principal) |
| R | ஆண்டு வட்டி வீதம் (Rate % per annum) |
| N (அல்லது n) | காலம் (ஆண்டுகளில்) |
| A | மொத்தத் தொகை (Amount) |
| C.I | கூட்டு வட்டி = A - P |
| S.I | தனி வட்டி (ஒப்பீட்டுக்கு) |
3. அடிப்படை சூத்திரங்கள்
(a) ஆண்டுக்கு ஒரு முறை (Annually)
A = P(1 + R/100)^N C.I = A - P
(b) அரையாண்டுக்கு ஒரு முறை (Half-yearly)
வட்டி வீதம் பாதி ஆகும்; காலம் இரட்டிப்பு ஆகும்.
A = P(1 + (R/2)/100)^(2N) = P(1 + R/200)^(2N)
(c) கால் ஆண்டுக்கு ஒரு முறை (Quarterly)
வட்டி வீதம் கால் பங்கு; காலம் நான்கு மடங்கு.
A = P(1 + (R/4)/100)^(4N) = P(1 + R/400)^(4N)
(d) மதிப்புக் குறைவு (Depreciation)
A = P(1 - R/100)^N
யந்திரம், வாகனம் போன்றவற்றின் மதிப்பு ஆண்டுதோறும் R% குறையும் நிலைக்கு.
4. வெவ்வேறு ஆண்டுகளுக்கு வெவ்வேறு வட்டி வீதம்
ஆண்டு 1-க்கு R₁%, ஆண்டு 2-க்கு R₂%, ஆண்டு 3-க்கு R₃% எனில்:
A = P (1 + (R₁)/100)(1 + (R₂)/100)(1 + (R₃)/100)
5. CI – SI வித்தியாச சூத்திரங்கள் — TNPSC குறுக்குவழி
P அசல், R% ஆண்டு வட்டி வீதம் —
D₂ = C.I - S.I (2 ஆண்டு) = P(R/100)²
D₃ = C.I - S.I (3 ஆண்டு) = (P × R² × (300 + R))/(100³)
2 ஆண்டுக்கான CI ↔ SI உறவு:
C.I = S.I (1 + R/200) (2 ஆண்டுக்கு மட்டும்)
6. படி-படியாக கூட்டு வட்டி — Pascal-குணக அணுகுமுறை — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
P அசலுக்கு R%-ல் N ஆண்டுகளுக்கான கூட்டு வட்டியை Binomial விரிவாக்கம் மூலம் காணலாம். Pascal குணகங்கள்:
| N | குணகங்கள் |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2, 1 |
| 3 | 3, 3, 1 |
| 4 | 4, 6, 4, 1 |
P → ஒவ்வொரு நிலை வட்டியைR%-ல் கணக்கிட்டு Pascal குணகங்களைப் பயன்படுத்தி CI-ஐ நேரடியாகக் கணக்கிடலாம். (TNPSC குறிப்பிட்ட வழக்கம் — கீழே Type 1 Group 1-ல் விளக்கம்).
7. மடங்கு-தொடர்பு சூத்திரம் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
கூட்டு வட்டியில் ஒரு தொகை T₁ ஆண்டுகளில் k மடங்காக ஆனால், அதே வட்டி வீதத்தில்:
T₂ = T₁ × m ⇒ தொகை மடங்கு = k^m
எ.கா: 4 ஆண்டில் 3 மடங்கு ⇒ 8 ஆண்டில் 3² = 9 மடங்கு; 16 ஆண்டில் 3⁴ = 81 மடங்கு.
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: அடிப்படை CI காணல் (2 ஆண்டு)
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: ரூ. 5000 அசலுக்கு 10%-ல் 2 ஆண்டுக்கான கூட்டு வட்டி யாது? தீர்வு: A = 5000 (110/100)² = 5000 × 1.21 = 6050 C.I = 6050 - 5000 = 1050
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: ரூ. 8000 அசலுக்கு 12.5%-ல் 2 ஆண்டுக்கான மொத்தத் தொகை யாது? தீர்வு: A = 8000 ((112.5)/100)² = 8000 × (1.125)² = 8000 × 1.265625 = 10125
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: ரூ. 10000-க்கு 10%-ல் 3 ஆண்டுக்கான CI-ஐ Pascal குணக முறையில் காண்க. தீர்வு: P = 10000, R = 10%
- P × R/100 = 1000
- 1000 × R/100 = 100
- 100 × R/100 = 10 Pascal (3,3,1): C.I = 3 × 1000 + 3 × 100 + 1 × 10 = 3000 + 300 + 10 = 3310 சரிபார்ப்பு: 10000 × (1.1)³ - 10000 = 10000 × 1.331 - 10000 = 3310 ✓
Type 2: மொத்தத் தொகை → அசல் காணல்
Group 4: கேள்வி: 10% CI-ல் 2 ஆண்டுகளில் ரூ. 12100 ஆகும் அசல் யாது? தீர்வு: P = 12100/((110/100)²) = 12100/(1.21) = 10000
Group 2: கேள்வி: 5% CI-ல் 3 ஆண்டுகளில் ரூ. 9261 ஆகும் அசல் யாது? தீர்வு: P = 9261/((105/100)³) = 9261/(1.157625) = 8000
Group 1: கேள்வி: 10% CI-ல், அசலின் 331/1000 பங்கு = 3 ஆண்டு CI. அசல் ரூ. 10000 எனில், 3 ஆண்டு CI யாது? தீர்வு: (1.1)³ = 1.331 ⇒ C.I = P(1.331 - 1) = 0.331P C.I = 0.331 × 10000 = 3310 அசலின் 331/1000-ம் = 3310 ✓
Type 3: வட்டி வீதம் காணல் (R)
Group 4: கேள்வி: ரூ. 12000 அசல் 2 ஆண்டுகளில் ரூ. 13230 ஆகிறது. வட்டி வீதம் யாது? தீர்வு: 13230/12000 = (1 + R/100)² ⇒ 441/400 = (21/20)² 1 + R/100 = 21/20 ⇒ R = 5%
Group 2: கேள்வி: ஒரு தொகை 2 ஆண்டுகளில் தன் மதிப்பைப் போல் 1.44 மடங்கு ஆனால் CI வட்டி வீதம் யாது? தீர்வு: √(1.44) = 1.2 1 + R/100 = 1.2 ⇒ R = 20%
Group 1: கேள்வி: ஒரு தொகை 3 ஆண்டுகளில் தன் மதிப்பைப் போல் 1331/1000 மடங்கு ஆனால் CI வட்டி வீதம் யாது? தீர்வு: √([)3]1331/1000 = 11/10 1 + R/100 = 11/10 ⇒ R = 10%
Type 4: காலம் காணல் (N)
Group 4: கேள்வி: ரூ. 10000 CI-ல் 10%-ல் ரூ. 12100 ஆக எத்தனை ஆண்டுகள் ஆகும்? தீர்வு: (110/100)^N = 1.21 = (1.1)² N = 2 ஆண்டு
Group 2: கேள்வி: ரூ. 30000 அசல் 7% CI-ல் ரூ. 4347 கூட்டு வட்டி தந்தது. காலம் யாது? தீர்வு: A = 30000 + 4347 = 34347 (107/100)^N = 34347/30000 = 1.1449 = (1.07)² N = 2 ஆண்டு
Group 1: கேள்வி: ஒரு தொகை 5% CI-ல் 3 ஆண்டுகளில் ரூ. 10000-லிருந்து ரூ. 11576.25 ஆனது. காலம் N யாது? தீர்வு: (1.05)^N = (11576.25)/10000 = 1.157625 = (1.05)³ N = 3 ஆண்டு
Type 5: அரையாண்டு கூட்டு வட்டி (Half-yearly)
Group 4: கேள்வி: ரூ. 4000 அசலுக்கு 10% ஆண்டு வட்டி, அரையாண்டுக்கு ஒரு முறை கணக்கிடப்பட்டால் 1 ஆண்டு முடிவில் மொத்தத் தொகை யாது? தீர்வு: R/2 = 5%; 2N = 2 A = 4000 × (1.05)² = 4000 × 1.1025 = 4410
Group 2: கேள்வி: ரூ. 8000 அசலுக்கு 10% ஆண்டு வட்டி, அரையாண்டு CI-ல் 1 1/2 ஆண்டுக்கான வட்டி யாது? தீர்வு: R/2 = 5%; 2N = 3 A = 8000 × (1.05)³ = 8000 × 1.157625 = 9261 C.I = 9261 - 8000 = 1261
Group 1: கேள்வி: ரூ. 10000 அசலுக்கு 20% ஆண்டு வட்டி, அரையாண்டு CI-ல் 2 ஆண்டுக்கான மொத்தத் தொகை யாது? தீர்வு: R/2 = 10%; 2N = 4 A = 10000 × (1.1)⁴ = 10000 × 1.4641 = 14641
Type 6: கால் ஆண்டு CI (Quarterly)
Group 4: கேள்வி: ரூ. 16000 அசலுக்கு 20% ஆண்டு வட்டி, கால் ஆண்டு CI-ல் 6 மாத (0.5 ஆண்டு) முடிவில் மொத்தத் தொகை யாது? தீர்வு: R/4 = 5%; 4N = 2 A = 16000 × (1.05)² = 16000 × 1.1025 = 17640
Group 2: கேள்வி: ரூ. 8000 அசலுக்கு 20% ஆண்டு வட்டி, கால் ஆண்டு CI-ல் 9 மாத முடிவில் தொகை யாது? தீர்வு: R/4 = 5%; 4N = 3 A = 8000 × (1.05)³ = 8000 × 1.157625 = 9261
Group 1: கேள்வி: ரூ. 10000-க்கு 8% ஆண்டு, கால் ஆண்டு CI-ல் 1 ஆண்டு முடிவில் மொத்தத் தொகை யாது? தீர்வு: R/4 = 2%; 4N = 4 A = 10000 × (1.02)⁴ = 10000 × 1.08243216 ≈ 10824.32
Type 7: வெவ்வேறு ஆண்டுகளுக்கு வெவ்வேறு வட்டி
Group 4: கேள்வி: ரூ. 10000 அசல் — முதல் ஆண்டு 10%, இரண்டாம் ஆண்டு 20% CI. 2 ஆண்டு முடிவில் மொத்தத் தொகை யாது? தீர்வு: A = 10000 × 110/100 × 120/100 = 10000 × 1.32 = 13200
Group 2: கேள்வி: ரூ. 15000 அசல் — ஆண்டு 1: 15%, ஆண்டு 2: 20%, ஆண்டு 3: 25%. மொத்த CI யாது? தீர்வு: A = 15000 × 1.15 × 1.20 × 1.25 = 15000 × 1.725 = 25875 C.I = 25875 - 15000 = 10875
Group 1: கேள்வி: ஒரு பாக்டீரியா தொகை 10000: முதல் மணி 5% அதிகரிப்பு, இரண்டாம் மணி 8% குறைவு, மூன்றாம் மணி 10% அதிகரிப்பு. 3 மணி நேர முடிவில் தொகை யாது? தீர்வு: = 10000 × 1.05 × 0.92 × 1.10 = 10000 × 1.05 × 0.92 = 9660; 9660 × 1.10 = 10626 ∴ 10626
Type 8: மதிப்புக் குறைவு (Depreciation)
Group 4: கேள்வி: ஒரு காரின் தற்போதைய மதிப்பு ரூ. 4,00,000. அது ஆண்டுக்கு 10% மதிப்புக் குறைவு அடைந்தால், 2 ஆண்டுகள் கழித்த மதிப்பு யாது? தீர்வு: A = 400000 × (0.9)² = 400000 × 0.81 = 3,24,000
Group 2: கேள்வி: ஒரு இயந்திரம் தற்போது ரூ. 8000. ஆண்டுக்கு 20% மதிப்புக் குறைவு அடையும் எனில், 3 ஆண்டுகள் கழித்த மதிப்பு யாது? தீர்வு: A = 8000 × (0.8)³ = 8000 × 0.512 = 4096
Group 1: கேள்வி: ஒரு இயந்திரத்தின் இரு ஆண்டுக்குப் பிறகான மதிப்பு ரூ. 2916; ஆண்டு தோறும் 10% மதிப்புக் குறைவு அடைந்திருந்தால் அதன் தற்போதைய (துவக்க) மதிப்பு யாது? தீர்வு: P = 2916/((0.9)²) = 2916/(0.81) = 3600
Type 9: மக்கள் தொகை வளர்ச்சி
Group 4: கேள்வி: ஒரு நகரின் தற்போதைய மக்கள் தொகை 10000; ஆண்டுக்கு 10% வளர்ச்சி. 2 ஆண்டுகள் கழித்து மக்கள் தொகை யாது? தீர்வு: P₂ = 10000 × (1.1)² = 12100
Group 2: கேள்வி: ஒரு நகரின் மக்கள் தொகை 2 ஆண்டுகள் முன்பு 8000; தற்போது 9680. ஆண்டு வளர்ச்சி வீதம் யாது? தீர்வு: (1 + R/100)² = 9680/8000 = 1.21 = (1.1)² R = 10%
Group 1: கேள்வி: ஒரு கிராமத்தில் மக்கள் தொகை ஆண்டு தோறும் 10% வளர்ந்தும், அதே ஆண்டில் 5% இடம் பெயர்ந்தும் உள்ளனர். துவக்க தொகை 20000 எனில், 2 ஆண்டு முடிவில் தொகை யாது? தீர்வு: ஒரு ஆண்டின் நிகர வளர்ச்சி = 1.10 × 0.95 = 1.045 P₂ = 20000 × (1.045)² = 20000 × 1.092025 = 21840.5 ≈ 21840
Type 10: CI – SI வித்தியாசம் (2 ஆண்டு)
Group 4: கேள்வி: ரூ. 5000-க்கு 10%-ல் 2 ஆண்டுக்கான CI-க்கும் SI-க்கும் இடையிலான வித்தியாசம் யாது? தீர்வு: D₂ = P (R/100)² = 5000 × 0.01 = 50
Group 2: கேள்வி: 10% CI-ல், ஒரு அசலுக்கு 2 ஆண்டுக்கான CI–SI வித்தியாசம் ரூ. 63. அசல் யாது? தீர்வு: 63 = P × (0.1)² = 0.01P ⇒ P = 6300
Group 1: கேள்வி: ஒரு அசலுக்கு R%-ல் 2 ஆண்டுக்கான SI ரூ. 600; CI ரூ. 630. R மற்றும் அசல் யாது? தீர்வு: D₂ = 30; SI = 600 C.I = S.I (1 + R/200) ⇒ 630 = 600 (1 + R/200) 1 + R/200 = 1.05 ⇒ R = 10% S.I = 600 = (P × 2 × 10)/100 ⇒ P = 3000
Type 11: CI – SI வித்தியாசம் (3 ஆண்டு)
Group 4: கேள்வி: ரூ. 8000-க்கு 5%-ல் 3 ஆண்டுக்கான CI–SI வித்தியாசம் யாது? தீர்வு: D₃ = (8000 × 25 × 305)/(10⁶) = (61,000,000)/(1,000,000) = 61
Group 2: கேள்வி: 10%-ல் 3 ஆண்டுக்கான CI–SI வித்தியாசம் ரூ. 155. அசல் யாது? தீர்வு: 155 = (P × 100 × 310)/(10⁶) = 31P/1000 ⇒ P = (155 × 1000)/31 = 5000
Group 1: கேள்வி: 15%-ல் 3 ஆண்டுக்கான CI–SI வித்தியாசம் ரூ. 1134. அசல் யாது? தீர்வு: 1134 = (P × 225 × 315)/(10⁶) = (70875 P)/(10⁶) P = (1134 × 10⁶)/70875 = 16000
Type 12: மடங்குகள் — k மடங்காகும் காலம்
Group 4: கேள்வி: ஒரு தொகை கூட்டு வட்டியில் 4 ஆண்டுகளில் 3 மடங்கு ஆனால், 12 ஆண்டுகளில் எத்தனை மடங்கு ஆகும்? தீர்வு: 12/4 = 3; ∴ 3³ = 27 மடங்கு
Group 2: கேள்வி: ஒரு தொகை கூட்டு வட்டியில் 5 ஆண்டுகளில் 2 மடங்கு ஆனால், 20 ஆண்டுகளில் எத்தனை மடங்கு ஆகும்? தீர்வு: 20/5 = 4; ∴ 2⁴ = 16 மடங்கு
Group 1: கேள்வி: ஒரு தொகை 8 ஆண்டுகளில் 4 மடங்கு ஆனால், அதே தொகை 32 மடங்கு ஆக எத்தனை ஆண்டுகள் ஆகும்? தீர்வு: 4 = 2²; 32 = 2⁵; 8 ஆண்டில் 2² ⇒ 4 ஆண்டில் 2¹ (i.e., √2 தொகை மாறாக). சரியான அணுகுமுறை: 4^(T/8) = 32 ⇒ 2^(2T/8) = 2⁵ ⇒ T = 20 ஆண்டு
Type 13: CI ↔ SI உறவு (2 ஆண்டு)
Group 4: கேள்வி: 10%-ல் 2 ஆண்டுக்கான SI ரூ. 200 எனில், அதே அசல் மற்றும் காலத்திற்கான CI யாது? தீர்வு: C.I = S.I (1 + R/200) = 200 × 1.05 = 210
Group 2: கேள்வி: ஒரு அசலின் 10%-ல் 2 ஆண்டுக்கான CI ரூ. 1050 எனில், அதே அசலின் SI யாது? தீர்வு: S.I = (C.I)/(1 + R/200) = 1050/(1.05) = 1000
Group 1: கேள்வி: ஒரு அசலின் R%-ல் 2 ஆண்டுக்கான CI–SI வித்தியாசம் ரூ. 32; SI = ரூ. 400. R மற்றும் அசல் யாது? தீர்வு: C.I = 400 + 32 = 432 1 + R/200 = 432/400 = 1.08 ⇒ R = 16% 400 = (P × 2 × 16)/100 ⇒ P = 1250 ∴ R = 16%, P = ரூ. 1250
Type 14: பகுதி (Fractional) ஆண்டு CI
Group 4: கேள்வி: ரூ. 10000 அசலுக்கு 10% CI-ல் 2 1/2 ஆண்டுக்கான தொகை யாது? தீர்வு: 2 ஆண்டு CI: A₂ = 10000 × (1.1)² = 12100 மீதி 6 மாதம் — அரை ஆண்டுக்கான வட்டி வீதம் = 5% (10 × 0.5) A = 12100 × 1.05 = 12705
Group 2: கேள்வி: ரூ. 8000 அசலுக்கு 10% CI-ல் 2 ஆண்டு 6 மாதம் முடிவில் CI யாது? தீர்வு: A₂ = 8000 × 1.21 = 9680 A = 9680 × 1.05 = 10164 C.I = 10164 - 8000 = 2164
Group 1: கேள்வி: ரூ. 20000 அசலுக்கு 15% CI-ல் 2 1/3 ஆண்டுக்கான மொத்தத் தொகை யாது? தீர்வு: A₂ = 20000 × (1.15)² = 20000 × 1.3225 = 26450 1/3 ஆண்டுக்கு வட்டி வீதம் = 15/3 = 5% A = 26450 × 1.05 = 27772.50