விகிதம் மற்றும் விகிதாச்சாரம்
விகிதம் (Ratio): ஒரே அலகில் உள்ள இரு அளவுகளை வகுத்தல் மூலம் ஒப்பிடுவதே விகிதம்.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
a : b = a/b (b ≠ 0)
- a = முன்னுறுப்பு (Antecedent); b = பின்னுறுப்பு (Consequent).
- ஒரு விகிதத்தின் இரு உறுப்புகளையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்கினாலோ / வகுத்தாலோ — விகிதம் மாறாது. எ.கா: 4:6 = 2:3 = 8:12.
- விகிதம் அலகற்றது (Unitless) — ஒரே அலகில் உள்ள இரு அளவுகளை மட்டுமே ஒப்பிட முடியும் (எ.கா: மீட்டர் : மீட்டர், ரூ. : ரூ.).
விகிதாச்சாரம் (Proportion): இரு விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால் அவை விகிதாச்சாரத்தில் உள்ளன.
a : b :: c : d Longleftrightarrow a/b = c/d Longleftrightarrow ad = bc
- a, d = ஏற்றெண்கள் (Extremes); b, c = இடைஎண்கள் (Means).
- ஏற்றெண்களின் பெருக்கல் = இடைஎண்களின் பெருக்கல் (ad = bc).
2. விகித வகைகள் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
| வகை | வரையறை | எ.கா |
|---|---|---|
| ஈரடி விகிதம் (Duplicate) | a² : b² | 3:4 ⇒ 9:16 |
| முக்கடி விகிதம் (Triplicate) | a³ : b³ | 2:3 ⇒ 8:27 |
| துணை-ஈரடி (Sub-duplicate) | √a : √b | 9:16 ⇒ 3:4 |
| துணை-முக்கடி (Sub-triplicate) | √([)3]a : √([)3]b | 8:27 ⇒ 2:3 |
| தலைகீழி விகிதம் (Inverse) | 1/a : 1/b = b : a | 4:5 ⇒ 5:4 |
| கூட்டு விகிதம் (Compound) | (a:b) × (c:d) = ac : bd | 2:3, 4:5 ⇒ 8:15 |
3. விகிதாச்சார வகைகள்
(a) தொடர் விகிதாச்சாரம் (Continued Proportion)
a : b :: b : c எனில், a, b, c தொடர் விகிதாச்சாரத்தில் உள்ளன ⇒ b² = ac.
- b = நடு விகிதம் (Mean Proportional) = √ac
- c = மூன்றாம் விகிதம் (Third Proportional) = (b²)/a
(b) நான்காம் விகிதம் (Fourth Proportional)
a : b :: c : d எனில், d = (b × c)/a.
4. Componendo & Dividendo விதி — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
a/b = c/d எனில்:
Componendo: (a+b)/b = (c+d)/d Dividendo: (a-b)/b = (c-d)/d
Componendo-Dividendo: (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d)
TNPSC-ல் (a+b)/(a-b) போன்ற கேள்விகளுக்குக் குறுக்குவழி.
5. நேர் / எதிர் விகித மாற்றம் (Direct / Inverse Variation) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
| வகை | உறவு | சூத்திரம் | எ.கா |
|---|---|---|---|
| நேர் விகித மாற்றம் (Direct) | x அதிகரிக்க y அதிகரிக்கும் | (x₁)/(y₁) = (x₂)/(y₂) | வாங்கும் அளவு ↔ செலவு |
| எதிர் விகித மாற்றம் (Inverse) | x அதிகரிக்க y குறையும் | x₁ y₁ = x₂ y₂ | வேகம் ↔ நேரம் |
6. பயன்பாட்டு விதிகள் (TNPSC குறுக்குவழி)
- பணத்தைப் பிரித்தல்: ஒரு தொகை T-ஐ a : b : c விகிதத்தில் பிரித்தால், ஒவ்வொரு பங்கு = T/(a+b+c) × (அந்த-அந்த விகிதம்).
- இரு எண்கள் a : b விகிதத்தில், வித்தியாசம் D எனில்: பெரிய எண் = aD/(a-b) (a > b); சிறிய எண் = bD/(a-b)
- கூட்ட / கழிக்க — புதிய விகிதம் தந்து x காணல்: (ka + x)/(kb + x) = p/q ⇒ குறுக்கு பெருக்கல் மூலம் x காணல்.
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, அதே model-ஐப் பின்பற்றி புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: விகிதத்தை மிகச் சிறிய வடிவில் எழுதுதல்
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: 36 : 48 ஐ மிகச் சிறிய வடிவில் எழுதுக. தீர்வு: மீ.பொ.வ (36, 48) = 12 36/12 : 48/12 = 3 : 4
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: 2 மணி நேரம் : 45 நிமிடம் — இதை மிகச் சிறிய விகிதமாக்குக. தீர்வு: இரண்டையும் ஒரே அலகில் — நிமிடத்தில் மாற்றுக. 2 மணி = 120 நிமிடம். 120 : 45 = 120/15 : 45/15 = 8 : 3
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: 2/3 : 4/5 : 5/6 — முழு எண் விகிதமாக்குக. தீர்வு: பகுதிகள் 3, 5, 6-ன் மீ.சி.ம = 30; ஒவ்வொன்றையும் 30-ஆல் பெருக்க: 2/3(30) : 4/5(30) : 5/6(30) = 20 : 24 : 25
Type 2: விகிதங்களை ஒப்பிடல் / வரிசைப்படுத்தல்
Group 4: கேள்வி: 3 : 4 மற்றும் 5 : 7 — எது பெரிது? தீர்வு: 3/4 = 0.75; 5/7 ≈ 0.714 ∴ 3 : 4 > 5 : 7
Group 2: கேள்வி: 2 : 3, 5 : 8, 7 : 12 — ஏறு வரிசையில் எழுதுக. தீர்வு: பகுதிகள் 3, 8, 12-ன் மீ.சி.ம = 24 2/3 = 16/24; 5/8 = 15/24; 7/12 = 14/24 ∴ 7:12 < 5:8 < 2:3
Group 1: கேள்வி: a : b = 4 : 5; b : c = 3 : 4. a, b, c-ல் எது பெரிது? தீர்வு: a : b : c ஆக இணைக்க: b-க்கு பொது மதிப்பு காண — 5 × 3 = 15 a : b : c = (4 × 3) : (5 × 3) : (5 × 4) = 12 : 15 : 20 ∴ c > b > a; மிகப் பெரியது c
Type 3: இரு விகிதங்களைச் சேர்த்து மூன்று உறுப்பு
Group 4: கேள்வி: a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5 எனில் a : b : c = ? தீர்வு: b-க்கு பொதுவான மதிப்பு — 3 × 4 = 12 a : b : c = (2 × 4) : (3 × 4) : (3 × 5) = 8 : 12 : 15
Group 2: கேள்வி: x : y = 3 : 5, y : z = 2 : 7 எனில் x : y : z காண்க. தீர்வு: y-க்கு பொதுவான மதிப்பு — 5 × 2 = 10 x : y : z = (3 × 2) : (5 × 2) : (5 × 7) = 6 : 10 : 35
Group 1: கேள்வி: A : B = 3 : 4, B : C = 5 : 6, C : D = 7 : 8 எனில் A : D = ? தீர்வு: A/D = A/B × B/C × C/D = 3/4 × 5/6 × 7/8 = 105/192 = 35/64 ∴ A : D = 35 : 64
Type 4: பணத்தை விகிதத்தில் பிரித்தல்
Group 4: கேள்வி: ரூ. 840-ஐ A, B-க்கு 3 : 4 விகிதத்தில் பிரித்தால், ஒவ்வொருவரின் பங்கு யாது? தீர்வு: மொத்தப் பங்குகள் = 3 + 4 = 7; 1 பங்கு = 840/7 = 120 A = 3 × 120 = 360; B = 4 × 120 = 480
Group 2: கேள்வி: ரூ. 2160-ஐ A, B, C-க்கு 2 : 3 : 4 விகிதத்தில் பிரித்தால், C-ன் பங்கு யாது? தீர்வு: மொத்தப் பங்குகள் = 9; 1 பங்கு = 2160/9 = 240 C = 4 × 240 = 960
Group 1: கேள்வி: ரூ. 1180-ஐ மூவருக்கு 1/3 : 1/4 : 1/6 விகிதத்தில் பிரித்தால், மூன்றாமவரின் பங்கு யாது? தீர்வு: பகுதிகள் 3, 4, 6-ன் மீ.சி.ம = 12 1/3 : 1/4 : 1/6 = 4 : 3 : 2 (மொத்தம் = 9) 3-வதாமவர் = 2/9 × 1180 = 2360/9 ≈ 262.22 சரிபார்ப்பு: 4/9 × 1180 + 3/9 × 1180 + 2/9 × 1180 = 9/9 × 1180 = 1180 ✓ ∴ ரூ. 262 2/9 (≈ 262.22)
Type 5: விகிதம் மாறும் போது எண் காணல் (Add / Subtract)
Group 4: கேள்வி: இரு எண்களின் விகிதம் 3 : 5. இரண்டிலும் 2-ஐக் கூட்டினால் புதிய விகிதம் 2 : 3. அசல் எண்கள் யாவை? தீர்வு: எண்கள் 3x, 5x (3x + 2)/(5x + 2) = 2/3 3(3x+2) = 2(5x+2) ⇒ 9x + 6 = 10x + 4 ⇒ x = 2 ∴ 6, 10
Group 2: கேள்வி: இரு எண்களின் விகிதம் 5 : 8. இரண்டிலிருந்தும் 9-ஐக் கழித்தால் புதிய விகிதம் 2 : 5. பெரிய எண் யாது? தீர்வு: (5x - 9)/(8x - 9) = 2/5 ⇒ 5(5x-9) = 2(8x-9) 25x - 45 = 16x - 18 ⇒ 9x = 27 ⇒ x = 3 ∴ பெரிய எண் = 8 × 3 = 24
Group 1: கேள்வி: இரு எண்களின் விகிதம் 7 : 9. முதல் எண்ணுடன் 6 கூட்டி, இரண்டாம் எண்ணிலிருந்து 6 கழித்தால் புதிய விகிதம் 5 : 6. அசல் எண்கள் யாவை? தீர்வு: எண்கள் 7x, 9x (7x + 6)/(9x - 6) = 5/6 6(7x+6) = 5(9x-6) ⇒ 42x + 36 = 45x - 30 ⇒ 3x = 66 ⇒ x = 22 ∴ 154, 198 சரிபார்ப்பு: (154+6)/(198-6) = 160/192 = 5/6 ✓
Type 6: நடு விகிதம் / மூன்றாம் விகிதம் / நான்காம் விகிதம்
Group 4: கேள்வி: 4 மற்றும் 9-க்கு இடையேயுள்ள நடு விகிதம் யாது? தீர்வு: b = √ac = √(4 × 9) = √36 = 6
Group 2: கேள்வி: 8 மற்றும் 12-ன் மூன்றாம் விகிதம் காண்க. தீர்வு: c = (b²)/a = (12²)/8 = 144/8 = 18
Group 1: கேள்வி: 6, 9, 8 க்கு நான்காம் விகிதம் காண்க. மேலும், அதே 6 மற்றும் 9-க்கான மூன்றாம் விகிதத்தையும் காண்க. தீர்வு: நான்காம் விகிதம் = (b × c)/a = (9 × 8)/6 = 12 மூன்றாம் விகிதம் (6, 9) = (9²)/6 = 81/6 = 13.5
Type 7: விகிதத்தில் அசைவு / சதவீத மாற்றம்
Group 4: கேள்வி: A : B = 5 : 7. A ஆனது 20% அதிகரித்தால், B-ஐ A-க்குச் சமமாக்க எத்தனை % குறைக்க வேண்டும்? தீர்வு: A = 5, B = 7 எனக் கொள்க. புதிய A = 5 × 1.2 = 6; இதை B-க்கும் (7) சமமாக்க வேண்டும் என்பது தவறு — கேள்வி: A-க்கு சமமாக்க. B = 7-ஐ 6 ஆக்க — குறைவு = (7-6)/7 × 100 = 100/7 ≈ 14.29%
Group 2: கேள்வி: மாணவர்கள் : மாணவிகள் = 9 : 7. மாணவர் 40%-ம், மாணவி 20%-ம் அதிகரித்தால் புதிய விகிதம் யாது? தீர்வு: புதிய மாணவர்கள் = 9 × 1.4 = 12.6 புதிய மாணவிகள் = 7 × 1.2 = 8.4 விகிதம் = 12.6 : 8.4 = 3 : 2
Group 1: கேள்வி: மூன்று மாணவர்களின் மதிப்பெண் விகிதம் 5 : 7 : 8. அவர்களின் மதிப்பெண் முறையே 40%, 50%, 75% அதிகரித்தால் புதிய விகிதம் யாது? தீர்வு: 5 × 1.4 : 7 × 1.5 : 8 × 1.75 = 7 : 10.5 : 14 × 2 ⇒ 14 : 21 : 28 = 2 : 3 : 4
Type 8: இரு எண்களின் விகிதம் — சதவீத / சமன்பாடு உறவு
Group 4: கேள்வி: முதல் எண்ணின் 30% = இரண்டாம் எண்ணின் 45%. இரு எண்களின் விகிதம் யாது? தீர்வு: 30% · a = 45% · b ⇒ a/b = 45/30 = 3/2 a : b = 3 : 2
Group 2: கேள்வி: A-ன் 2/5 பங்கு = B-ன் 3/7 பங்கு. A : B காண்க. தீர்வு: 2A/5 = 3B/7 ⇒ 14A = 15B ⇒ A/B = 15/14 A : B = 15 : 14
Group 1: கேள்வி: (5a + 3b)/(2a - 3b) = 23/5 எனில் a : b காண்க. தீர்வு: குறுக்கு பெருக்கல் — 5(5a + 3b) = 23(2a - 3b) ⇒ 25a + 15b = 46a - 69b 84b = 21a ⇒ a/b = 84/21 = 4 a : b = 4 : 1
Type 9: பெருக்கற்பலன் / வர்க்க வித்தியாசம் தந்து எண் காணல்
Group 4: கேள்வி: இரு எண்களின் விகிதம் 3 : 5; வித்தியாசம் 10. அந்த எண்கள் யாவை? தீர்வு: 5x - 3x = 10 ⇒ x = 5 ∴ 15, 25
Group 2: கேள்வி: இரு எண்களின் விகிதம் 4 : 9; பெருக்கற்பலன் 1764. எண்கள் யாவை? தீர்வு: (4x)(9x) = 1764 ⇒ 36x² = 1764 ⇒ x² = 49 ⇒ x = 7 ∴ 28, 63
Group 1: கேள்வி: மூன்று எண்களின் விகிதம் 3 : 4 : 7; பெருக்கற்பலன் 18144. எண்கள் யாவை? தீர்வு: (3x)(4x)(7x) = 84x³ = 18144 ⇒ x³ = 216 ⇒ x = 6 ∴ 18, 24, 42 சரிபார்ப்பு: 18 × 24 × 42 = 18144 ✓
Type 10: வருமானம் – செலவு – சேமிப்பு விகிதம் (இரு சமன்பாடு)
Group 4: கேள்வி: A-ன் வருமானம் ரூ.6000; செலவு விகிதம் வருமானத்தில் 4 : 5 ஆக உள்ளது எனில், சேமிப்பு எவ்வளவு? தீர்வு: செலவு = 4/5 × 6000 = 4800 சேமிப்பு = 6000 - 4800 = ரூ. 1200
Group 2: கேள்வி: இருவரின் வருமான விகிதம் 5 : 4; செலவு விகிதம் 3 : 2. ஒவ்வொருவரும் ரூ. 1600 சேமித்தால், அவரவர் வருமானம் யாது? தீர்வு: வருமானம் 5x, 4x; செலவு 3y, 2y 5x - 3y = 1600 … (1) 4x - 2y = 1600 … (2) (1) × 2: 10x - 6y = 3200 (2) × 3: 12x - 6y = 4800 கழிக்க: 2x = 1600 ⇒ x = 800 A = 5 × 800 = 4000; B = 4 × 800 = 3200
Group 1: கேள்வி: இருவரின் வருமான விகிதம் 9 : 7; செலவு விகிதம் 4 : 3. ஒவ்வொருவரும் மாதம் ரூ. 2000 சேமிக்கிறார்கள் எனில், இருவரின் வருமானமும் யாது? தீர்வு: 9x - 4y = 2000 … (1) 7x - 3y = 2000 … (2) (1) × 3: 27x - 12y = 6000 (2) × 4: 28x - 12y = 8000 கழிக்க: x = 2000 A = 9 × 2000 = 18000; B = 7 × 2000 = 14000
Type 11: கலவை (Mixture) — பால்–தண்ணீர் விகிதம் மாற்றம்
Group 4: கேள்வி: 30 லிட்டர் கலவையில் பால் : தண்ணீர் = 2 : 1. பாலின் அளவு யாது? தீர்வு: பால் = 2/3 × 30 = 20 லிட்டர்
Group 2: கேள்வி: 60 லிட்டர் கலவையில் பால் : தண்ணீர் = 2 : 1. இதை 1 : 2 ஆக்க எத்தனை லிட்டர் தண்ணீர் சேர்க்க வேண்டும்? தீர்வு: பால் = 40 லிட்டர்; தண்ணீர் = 20 லிட்டர் புதிய தண்ணீர் = x லிட்டர்: 40/(20 + x) = 1/2 ⇒ 80 = 20 + x ⇒ x = 60 ∴ சேர்க்க வேண்டியது = 60 லிட்டர்
Group 1: கேள்வி: 80 லிட்டர் கலவையில் பால் : தண்ணீர் = 7 : 3. புதிய கலவையில் பால் : தண்ணீர் = 2 : 3 ஆக மாற்ற எத்தனை லிட்டர் தண்ணீர் சேர்க்க வேண்டும்? தீர்வு: பால் = 7/10 × 80 = 56; தண்ணீர் = 24 56/(24 + x) = 2/3 ⇒ 168 = 48 + 2x ⇒ 2x = 120 ⇒ x = 60 ∴ 60 லிட்டர்
Type 12: நேர் / எதிர் விகித மாற்றம் (Direct / Inverse Variation)
Group 4 (நேர்): கேள்வி: 12 புத்தகங்களின் விலை ரூ. 180 எனில், 20 புத்தகங்களின் விலை யாது? தீர்வு: நேர் விகித மாற்றம் — 12/180 = 20/x ⇒ x = (20 × 180)/12 = 300 ∴ ரூ. 300
Group 2 (எதிர்): கேள்வி: 15 ஆட்கள் 12 நாட்களில் ஒரு வேலையை முடிக்கின்றனர். அதே வேலையை 9 நாட்களில் முடிக்க எத்தனை ஆட்கள் தேவை? தீர்வு: எதிர் விகித மாற்றம் — 15 × 12 = x × 9 ⇒ x = 180/9 = 20 ∴ 20 ஆட்கள்
Group 1 (கூட்டு விகித மாற்றம்): கேள்வி: 6 ஆட்கள் 8 மணி நேரம் வேலை செய்து ஒரு பணியை 5 நாட்களில் முடிக்கின்றனர். 10 ஆட்கள் ஒரு நாளுக்கு 6 மணி நேரம் வேலை செய்தால், அதே பணியை எத்தனை நாட்களில் முடிப்பர்? தீர்வு: மொத்த மனிதர் × நேரம் = மாறாத அளவு 6 × 8 × 5 = 10 × 6 × D ⇒ 240 = 60D ⇒ D = 4 ∴ 4 நாட்கள்
Type 13: நாணய விகித சொல் கணக்கு
Group 4: கேள்வி: ஒரு பையில் ரூ. 1 மற்றும் ரூ. 2 நாணயங்கள் 3 : 2 விகிதத்தில் உள்ளன. மொத்த மதிப்பு ரூ. 70 எனில், ரூ. 1 நாணயங்கள் எத்தனை? தீர்வு: எண்ணிக்கை 3x, 2x மதிப்பு: 1(3x) + 2(2x) = 7x = 70 ⇒ x = 10 ∴ ரூ. 1 நாணயம் = 30
Group 2: கேள்வி: ஒரு கூடையில் 25 பைசா, 10 பைசா, 5 பைசா நாணயங்கள் 1 : 2 : 3 விகிதத்தில் உள்ளன. மொத்த மதிப்பு ரூ. 30 எனில், 5 பைசா நாணயங்களின் எண்ணிக்கை யாது? தீர்வு: எண்ணிக்கை x, 2x, 3x மதிப்பு (பைசா) = 25x + 10(2x) + 5(3x) = 25x + 20x + 15x = 60x 60x = 3000 (ரூ. 30 = 3000 பைசா) ⇒ x = 50 ∴ 5 பைசா நாணயங்கள் = 3x = 150
Group 1: கேள்வி: ரூ.5, ரூ.2, ரூ.1 நாணயங்களின் மதிப்புகள் 3 : 2 : 1 விகிதத்தில் உள்ளன. மொத்த மதிப்பு ரூ. 600 எனில், ஒவ்வொரு வகையின் எண்ணிக்கை யாது? தீர்வு: மதிப்புப் பங்கு = 6; ஒவ்வொரு பங்கு = 600/6 = 100 ரூ.5-ன் மதிப்பு = 3 × 100 = 300 ⇒ எண்ணிக்கை = 300/5 = 60 ரூ.2-ன் மதிப்பு = 200 ⇒ எண்ணிக்கை = 100 ரூ.1-ன் மதிப்பு = 100 ⇒ எண்ணிக்கை = 100 ∴ 60, 100, 100
Type 14: மூவரின் பங்கு – உறவு நிபந்தனை
Group 4: கேள்வி: ரூ. 60-ஐ A, B-க்கு 2 : 3 விகிதத்தில் பிரித்தால், B-ன் பங்கு யாது? தீர்வு: B = 3/5 × 60 = 36
Group 2: கேள்வி: ரூ. 53-ஐ A, B, C-க்கு பிரிக்க வேண்டும். A, B-ஐ விட ரூ. 7 அதிகம்; B, C-ஐ விட ரூ. 8 அதிகம். A : B : C காண்க. தீர்வு: C = x; B = x+8; A = x+15 3x + 23 = 53 ⇒ x = 10 A : B : C = 25 : 18 : 10
Group 1: கேள்வி: (a+b) : (b+c) : (c+a) = 6 : 7 : 8 மற்றும் a + b + c = 14 எனில் c காண்க. தீர்வு: a+b = 6k; b+c = 7k; c+a = 8k கூட்ட: 2(a+b+c) = 21k ⇒ 2(14) = 21k ⇒ k = 28/21 = 4/3 a + b = 6 × 4/3 = 8 ∴ c = 14 - 8 = 6