மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.சி.ம
- மீ.பொ.வ (மீப்பெரு பொது வகுத்தி / மீப்பெரு பொதுக் காரணி — Highest Common Factor / HCF / GCD): இரு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை மீதியின்றி வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய பொதுக் காரணி.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
- மீ.சி.ம (மீச்சிறு பொது மடங்கு — Least Common Multiple / LCM): இரு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களால் மீதியின்றி வகுபடக்கூடிய மிகச்சிறிய பொது மடங்கு.
TNPSC-ல் அடிப்படை கணக்குகள் மட்டுமன்றி மணி (Bell) பிரச்சனை, கொள்கலன் அளவு, பின்னம் / தசம மீ.சி.ம-மீ.பொ.வ போன்ற பல்வேறு வகைகள் கேட்கப்படுகின்றன.
2. அடிப்படை பண்புகள்
| பண்பு | விளக்கம் |
|---|---|
| மீ.பொ.வ ≤ சிறிய எண் | மீ.பொ.வ கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் மிகச் சிறிய எண்ணுக்குச் சமமாகவோ, சிறியதாகவோ இருக்கும். |
| மீ.சி.ம ≥ பெரிய எண் | மீ.சி.ம கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் மிகப் பெரிய எண்ணுக்குச் சமமாகவோ, பெரிதாகவோ இருக்கும். |
| மீ.சி.ம என்பது மீ.பொ.வ-வின் மடங்கு | மீ.சி.ம ÷ மீ.பொ.வ = முழு எண். |
| சார்பகா எண்களின் மீ.பொ.வ | = 1 (எ.கா: 8, 15) |
| சார்பகா எண்களின் மீ.சி.ம | = அவ்வெண்களின் பெருக்கற்பலன் (எ.கா: 8 × 15 = 120) |
| இரு பகா எண்களின் மீ.பொ.வ | = 1 (எ.கா: 3, 5-க்கு) |
| Y ஆனது X-ன் மடங்கு எனில் | மீ.பொ.வ (X, Y) = X; மீ.சி.ம (X, Y) = Y |
3. முக்கிய தொடர்பு விதி
மீ.பொ.வ × மீ.சி.ம = முதல் எண் × இரண்டாம் எண்
கவனம்: இந்த சூத்திரம் இரு எண்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்; மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களுக்குப் பொருந்தாது.
மற்றொரு எண் = (மீ.பொ.வ × மீ.சி.ம)/(கொடுக்கப்பட்ட எண்)
4. மீ.பொ.வ காணும் முறைகள்
(a) பகா காரணி முறை (Prime Factorisation)
ஒவ்வொரு எண்ணையும் பகா காரணிகளாக எழுத, பொதுவாக உள்ள காரணிகளின் குறைந்த அடுக்கு-களைப் பெருக்க வேண்டும்.
எ.கா: 60 = 2² × 3 × 5; 72 = 2³ × 3² மீ.பொ.வ = 2² × 3 = 12
(b) தொடர் வகுத்தல் முறை (Euclidean Division Method) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
பெரிய எண்ணை சிறிய எண்ணால் வகுக்க; கிடைத்த மீதியால் முந்தைய வகுத்தியை மீண்டும் வகுக்க; மீதி 0 கிடைக்கும் வரை தொடர; கடைசி வகுத்தியே மீ.பொ.வ.
எ.கா: 2923, 3239-ன் மீ.பொ.வ = 79
5. மீ.சி.ம காணும் முறைகள்
(a) பகா காரணி முறை
ஒவ்வொரு எண்ணையும் பகா காரணிகளாக எழுத, அனைத்து காரணிகளின் மிகப் பெரிய அடுக்கு-களைப் பெருக்க வேண்டும்.
(b) பொதுவாக வகுத்தல் முறை
எல்லா எண்களையும் ஒரே பகா எண்ணால் வகுக்க; வகுக்க முடியாதவற்றை அப்படியே இறக்க; இறுதியில் அனைத்தும் 1 ஆகும் வரை தொடர; அனைத்து வகுத்திகள் + இறுதி எண்களை ஒன்றாகப் பெருக்க வேண்டும்.
எ.கா: 12, 16-ன் மீ.சி.ம = 2 × 2 × 3 × 4 = 48 (அல்லது 2⁴ × 3 = 48)
6. பின்னங்களின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.சி.ம
பின்னங்களின் மீ.பொ.வ = (தொகுதிகளின் மீ.பொ.வ)/(பகுதிகளின் மீ.சி.ம)
பின்னங்களின் மீ.சி.ம = (தொகுதிகளின் மீ.சி.ம)/(பகுதிகளின் மீ.பொ.வ)
நினைவில் கொள்: "தொகுதி" = மேலே இருப்பது (Numerator); "பகுதி" = கீழே இருப்பது (Denominator).
7. தசம எண்களின் மீ.பொ.வ / மீ.சி.ம
- அனைத்து எண்களிலும் அதிகபட்ச தசம இடங்களைக் கொண்ட எண்ணை அடிப்படையாகக் கொள்ள.
- 10, 100, 1000, … ஆல் பெருக்கி முழு எண்களாக மாற்றுக.
- முழு எண்களின் மீ.பொ.வ / மீ.சி.ம காண்க.
- இறுதி விடையை அதே 10, 100, 1000, …-ஆல் வகுத்து தசம வடிவில் மாற்றுக.
எ.கா: 1.08, 0.36, 0.9 ⇒ × 100 ⇒ 108, 36, 90; மீ.பொ.வ = 18 ⇒ ÷ 100 ⇒ 0.18
8. அடுக்கு வடிவில் உள்ள எண்களின் மீ.பொ.வ / மீ.சி.ம
- மீ.பொ.வ: பொதுவாக உள்ள பகா எண்களின் குறைந்த அடுக்கு.
- மீ.சி.ம: அனைத்து பகா எண்களின் பெரிய அடுக்கு.
எ.கா: A = 2³ × 3² × 5; B = 2² × 3⁴ × 7 மீ.பொ.வ = 2² × 3² = 36; மீ.சி.ம = 2³ × 3⁴ × 5 × 7 = 22680
9. விகிதம் தொடர்பான விதி
இரு எண்கள் a : b விகிதத்தில் இருந்து அவற்றின் மீ.பொ.வ = h எனில்:
- இரு எண்களும் = ah மற்றும் bh
- மீ.சி.ம = a × b × h (இங்கு a, b சார்பகா என்று கருதப்படுகிறது; விகிதம் மிகச் சிறிய வடிவில் தரப்பட்டிருக்க வேண்டும்).
6 : 7 விகிதம், மீ.சி.ம = 420 எனில், மீ.பொ.வ = 420/(6 × 7) = 10; எண்கள் 60, 70.
10. TNPSC பயன்பாட்டு வகைகள் — சூத்திர சுருக்கம்
| கேள்வி வகை | எதைக் காண | எப்படி |
|---|---|---|
| x₁, x₂, … மீதியின்றி வகுபடும் மிகச் சிறிய எண் | மீ.சி.ம | நேரடியாக |
| அதே எண்ணுடன் r கூட்டினால் வகுபடும் | மீ.சி.ம - r | |
| அதே எண்ணிலிருந்து r கழித்தால் வகுபடும் | மீ.சி.ம + r | |
| எல்லாவற்றாலும் வகுக்கும் போது அதே மீதி r | மீ.சி.ம + r | |
| ஒவ்வொரு எண்ணாலும் வெவ்வேறு மீதி r₁, r₂, … ஆனால் (xᵢ - rᵢ) சமம் | மீ.சி.ம - (பொது வித்தியாசம்) | |
| x₁, x₂-ஐ வகுக்கும்போது மீதி r₁, r₂ தரும் மிகப்பெரிய எண் | மீ.பொ.வ (x₁ - r₁, x₂ - r₂) | |
| N-இலக்க மிகப்பெரிய எண் x₁, x₂, …-ஆல் வகுபட | underbrace999…9_N - மீதி (LCM-ஆல் வகுத்த மீதி) | |
| N-இலக்க மிகச்சிறிய எண் x₁, x₂, …-ஆல் வகுபட | underbrace100…0_N + (LCM - மீதி) | |
| பல மணிகள் t₁, t₂, … நிமிட இடைவெளியில் ஒலிக்க — அடுத்து ஒன்றாக ஒலிக்கும் நேரம் | மீ.சி.ம நிமிடம் | |
| பல கொள்கலன்களை எல்லாவற்றையும் மீதியின்றி காலியாக்கும் மிகப் பெரிய அளவீட்டுக் கலம் | மீ.பொ.வ |
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, அதே model-ஐப் பின்பற்றி புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: அடிப்படை மீ.பொ.வ (பகா காரணி முறை)
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: 12 மற்றும் 18-ன் மீ.பொ.வ காண்க. தீர்வு: 12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3² மீ.பொ.வ = 2 × 3 = 6
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: 84, 126 மற்றும் 210-ன் மீ.பொ.வ காண்க. தீர்வு: 84 = 2² × 3 × 7; 126 = 2 × 3² × 7; 210 = 2 × 3 × 5 × 7 பொது காரணிகள் = 2, 3, 7; குறைந்த அடுக்குகள் = 2¹, 3¹, 7¹ மீ.பொ.வ = 2 × 3 × 7 = 42
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: 2⁴ × 3³ × 5² × 7, 2³ × 3⁵ × 5 × 11, 2² × 3² × 5³ × 7²-ன் மீ.பொ.வ காண்க. தீர்வு: பொது காரணிகள் = 2, 3, 5; குறைந்த அடுக்குகள் = 2², 3², 5 மீ.பொ.வ = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180
Type 2: அடிப்படை மீ.சி.ம (பகா காரணி முறை)
Group 4: கேள்வி: 8, 12-ன் மீ.சி.ம காண்க. தீர்வு: 8 = 2³; 12 = 2² × 3 மீ.சி.ம = 2³ × 3 = 24
Group 2: கேள்வி: 15, 25, 45-ன் மீ.சி.ம காண்க. தீர்வு: 15 = 3 × 5; 25 = 5²; 45 = 3² × 5 மீ.சி.ம = 3² × 5² = 9 × 25 = 225
Group 1: கேள்வி: 16, 24, 36 மற்றும் 54-ன் மீ.சி.ம காண்க. தீர்வு: 16 = 2⁴; 24 = 2³ × 3; 36 = 2² × 3²; 54 = 2 × 3³ மீ.சி.ம = 2⁴ × 3³ = 16 × 27 = 432
Type 3: தொடர் வகுத்தல் முறையில் மீ.பொ.வ (Division Method)
Group 4: கேள்வி: 48, 60-ன் மீ.பொ.வ காண்க — வகுத்தல் முறையில். தீர்வு: 60 ÷ 48 ⇒ மீதி 12; 48 ÷ 12 ⇒ மீதி 0 ∴ மீ.பொ.வ = 12
Group 2: கேள்வி: 391, 425-ன் மீ.பொ.வ காண்க. தீர்வு: 425 ÷ 391 ⇒ மீதி = 34 391 ÷ 34 ⇒ ஈவு 11, மீதி = 17 34 ÷ 17 ⇒ மீதி = 0 ∴ மீ.பொ.வ = 17
Group 1: கேள்வி: 1071, 1287-ன் மீ.பொ.வ காண்க. தீர்வு: 1287 ÷ 1071 ⇒ மீதி = 216 1071 ÷ 216 ⇒ ஈவு 4, மீதி = 207 216 ÷ 207 ⇒ மீதி = 9 207 ÷ 9 ⇒ மீதி = 0 ∴ மீ.பொ.வ = 9
Type 4: பின்னங்களின் மீ.பொ.வ / மீ.சி.ம
Group 4: கேள்வி: 2/3, 4/9-ன் மீ.சி.ம காண்க. தீர்வு: தொகுதிகளின் மீ.சி.ம (2, 4) = 4; பகுதிகளின் மீ.பொ.வ (3, 9) = 3 மீ.சி.ம = 4/3
Group 2: கேள்வி: 3/4, 5/6, 9/10-ன் மீ.பொ.வ காண்க. தீர்வு: தொகுதிகளின் மீ.பொ.வ (3, 5, 9) = 1; பகுதிகளின் மீ.சி.ம (4, 6, 10) = 60 மீ.பொ.வ = 1/60
Group 1: கேள்வி: 8/9, 16/81, 10/27-ன் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.சி.ம காண்க. தீர்வு: தொகுதி மீ.பொ.வ (8, 16, 10) = 2; பகுதி மீ.சி.ம (9, 81, 27) = 81 மீ.பொ.வ = 2/81 தொகுதி மீ.சி.ம (8, 16, 10) = 80; பகுதி மீ.பொ.வ (9, 81, 27) = 9 மீ.சி.ம = 80/9
Type 5: தசம எண்களின் மீ.பொ.வ / மீ.சி.ம
Group 4: கேள்வி: 0.6, 0.9-ன் மீ.பொ.வ காண்க. தீர்வு: × 10 ⇒ 6, 9; மீ.பொ.வ = 3 ÷ 10 ⇒ 0.3
Group 2: கேள்வி: 0.24, 0.36, 0.48-ன் மீ.பொ.வ காண்க. தீர்வு: × 100 ⇒ 24, 36, 48; மீ.பொ.வ = 12 ÷ 100 ⇒ 0.12
Group 1: கேள்வி: 1.5, 2.25, 4.5-ன் மீ.சி.ம காண்க. தீர்வு: × 100 ⇒ 150, 225, 450 150 = 2 × 3 × 5²; 225 = 3² × 5²; 450 = 2 × 3² × 5² மீ.சி.ம = 2 × 3² × 5² = 450 ÷ 100 ⇒ 4.5
Type 6: மீ.பொ.வ × மீ.சி.ம = எண்களின் பெருக்கற்பலன்
Group 4: கேள்வி: இரு எண்களின் மீ.பொ.வ = 4, மீ.சி.ம = 48; ஒரு எண் 16 எனில் மற்றொரு எண் யாது? தீர்வு: மற்றொரு எண் = (4 × 48)/16 = 12
Group 2: கேள்வி: இரு எண்களின் மீ.பொ.வ = 15, மீ.சி.ம = 300; ஒரு எண் 60 எனில் மற்றொரு எண் யாது? தீர்வு: மற்றொரு எண் = (15 × 300)/60 = 75
Group 1: கேள்வி: இரு எண்களின் மீ.சி.ம ஆனது மீ.பொ.வ-ஐ போல் 6 மடங்கு. மீ.சி.ம + மீ.பொ.வ = 84. ஒரு எண் 24 எனில் மற்றொரு எண் யாது? தீர்வு: மீ.பொ.வ = x ⇒ மீ.சி.ம = 6x; x + 6x = 84 ⇒ x = 12 மீ.பொ.வ = 12; மீ.சி.ம = 72 மற்றொரு எண் = (12 × 72)/24 = 36 சரிபார்ப்பு: மீ.பொ.வ(24, 36) = 12 ✓; மீ.சி.ம(24, 36) = 72 ✓
Type 7: விகிதம் மூலம் எண் காணல்
Group 4: கேள்வி: இரு எண்களின் விகிதம் 3 : 4; மீ.பொ.வ = 5. அந்த எண்கள் யாவை? தீர்வு: எண்கள் = 3 × 5, 4 × 5 = 15, 20 ∴ 15, 20
Group 2: கேள்வி: இரு எண்களின் விகிதம் 5 : 6; மீ.சி.ம = 480. அந்த எண்கள் யாவை? தீர்வு: மீ.பொ.வ = 480/(5 × 6) = 16 எண்கள் = 5 × 16, 6 × 16 = 80, 96
Group 1: கேள்வி: இரு எண்களின் விகிதம் 4 : 7; அவற்றின் மீ.பொ.வ = 9. இரண்டு எண்களின் கூடுதலின் மீ.சி.ம மற்றும் இரண்டு எண்களின் தனி மீ.சி.ம-ஐ கண்டறிக. தீர்வு: எண்கள் = 4 × 9, 7 × 9 = 36, 63 தனி மீ.சி.ம (36, 63) = 4 × 7 × 9 = 252 கூடுதல் = 36 + 63 = 99 மீ.சி.ம (36, 63, 99) = ?; 99 = 3² × 11 36 = 2² × 3²; 63 = 3² × 7; 99 = 3² × 11 மீ.சி.ம = 2² × 3² × 7 × 11 = 2772
Type 8: மீதியின்றி வகுபடும் மிகச் சிறிய எண் (LCM நேரடி)
Group 4: கேள்வி: 6, 8, 12 ஆல் மீதியின்றி வகுபடும் மிகச் சிறிய எண் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம (6, 8, 12) = 24 ∴ 24
Group 2: கேள்வி: 8, 12, 15, 20 ஆல் மீதியின்றி வகுபடும் இரண்டாவது மிகச்சிறிய எண் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம (8, 12, 15, 20) = 120 இரண்டாவது மிகச்சிறியது = 2 × 120 = 240
Group 1: கேள்வி: 12, 15, 18, 20 ஆல் மீதியின்றி வகுபடும் மிகச்சிறிய இரட்டைப்படை எண் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம (12, 15, 18, 20) 12 = 2² × 3; 15 = 3 × 5; 18 = 2 × 3²; 20 = 2² × 5 மீ.சி.ம = 2² × 3² × 5 = 180 180 இரட்டைப்படை என்பதால் அதுவே விடை. ∴ 180
Type 9: N-இலக்க மிகப்பெரிய / மிகச்சிறிய எண் வகுபட
Group 4: கேள்வி: 12 மற்றும் 15 ஆல் வகுபடும் மூன்று இலக்க மிகப்பெரிய எண் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம (12, 15) = 60 999 ÷ 60 ⇒ ஈவு 16, மீதி = 39 999 - 39 = 960
Group 2: கேள்வி: 18, 24, 32 ஆல் வகுபடும் நான்கு இலக்க மிகச்சிறிய எண் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம: 18 = 2 × 3²; 24 = 2³ × 3; 32 = 2⁵ மீ.சி.ம = 2⁵ × 3² = 32 × 9 = 288 1000 ÷ 288 ⇒ ஈவு 3, மீதி = 136; தேவையான கூட்டல் = 288 - 136 = 152 1000 + 152 = 1152 சரிபார்ப்பு: 1152 ÷ 288 = 4 ✓
Group 1: கேள்வி: 9, 12, 16 மற்றும் 30 ஆல் மீதியின்றி வகுபடும் ஐந்து இலக்க மிகப்பெரிய எண் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம: 9 = 3²; 12 = 2² × 3; 16 = 2⁴; 30 = 2 × 3 × 5 மீ.சி.ம = 2⁴ × 3² × 5 = 720 99999 ÷ 720 ⇒ ஈவு 138, மீதி = 639 99999 - 639 = 99360
Type 10: குறிப்பிட்ட மீதி தரும் எண்
Group 4: கேள்வி: 5, 6, 8 ஆல் வகுக்கும் போது அதே மீதி 3 தரும் மிகச்சிறிய எண் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம (5, 6, 8) = 120 ∴ 120 + 3 = 123
Group 2: கேள்வி: 6, 8, 12 ஆல் வகுக்கும் போது முறையே 2, 4, 8 மீதி தரும் மிகச்சிறிய எண் யாது? தீர்வு: வித்தியாசம் — 6-2 = 4; 8-4 = 4; 12-8 = 4 (அனைத்தும் சமம்: d = 4) மீ.சி.ம (6, 8, 12) = 24 ∴ 24 - 4 = 20 சரிபார்ப்பு: 20 ÷ 6 = 3 மீ 2 ✓; 20 ÷ 8 = 2 மீ 4 ✓; 20 ÷ 12 = 1 மீ 8 ✓
Group 1: கேள்வி: 2497-உடன் எந்த மிகச்சிறிய எண்ணைக் கூட்டினால் அது 5, 6, 4 மற்றும் 3 ஆல் மீதியின்றி வகுபடும்? தீர்வு: மீ.சி.ம (5, 6, 4, 3) = 60 2497 ÷ 60 ⇒ ஈவு 41, மீதி = 37 கூட்ட வேண்டியது = 60 - 37 = 23 சரிபார்ப்பு: 2497 + 23 = 2520; 2520 ÷ 60 = 42 ✓
Type 11: எண்களை வகுத்தால் குறிப்பிட்ட மீதி தரும் மிகப்பெரிய எண் (HCF)
Group 4: கேள்வி: 54, 78 இரண்டையும் மீதியின்றி வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய எண் யாது? தீர்வு: நேரடி மீ.பொ.வ (54, 78) 54 = 2 × 3³; 78 = 2 × 3 × 13 மீ.பொ.வ = 2 × 3 = 6
Group 2: கேள்வி: 62 மற்றும் 132-ஐ வகுக்கும் போது முறையே மீதி 2 மற்றும் 4 தரும் மிகப்பெரிய எண் யாது? தீர்வு: மீதிகளைக் கழிக்க — 62 - 2 = 60; 132 - 4 = 128 மீ.பொ.வ (60, 128): 60 = 2² × 3 × 5; 128 = 2⁷; மீ.பொ.வ = 4 ∴ 4
Group 1: கேள்வி: 1657 மற்றும் 2037-ஐ வகுக்கும் போது முறையே 6, 5 மீதி தரும் மிகப்பெரிய எண் யாது? தீர்வு: 1657 - 6 = 1651; 2037 - 5 = 2032 வகுத்தல் முறை மீ.பொ.வ (1651, 2032): 2032 ÷ 1651 ⇒ மீதி = 381 1651 ÷ 381 ⇒ ஈவு 4, மீதி = 127 381 ÷ 127 ⇒ மீதி = 0 ∴ மீ.பொ.வ = 127
Type 12: மணி (Bell / Tolling) — கால இடைவெளி மீ.சி.ம
Group 4: கேள்வி: இரு மணிகள் முறையே 6 மற்றும் 9 வினாடி இடைவெளியில் ஒலிக்கின்றன. இரண்டும் ஒன்றாக ஒலித்த பிறகு, மீண்டும் ஒன்றாக ஒலிக்கும் நேரம் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம (6, 9) = 18 ∴ 18 வினாடிகள் கழித்து
Group 2: கேள்வி: நான்கு மணிகள் முறையே 5, 10, 15, 20 நிமிட இடைவெளியில் ஒலிக்கின்றன. காலை 6:00 மணிக்கு நான்கும் ஒன்றாக ஒலித்தால், மீண்டும் ஒன்றாக ஒலிக்கும் நேரம் யாது? தீர்வு: மீ.சி.ம (5, 10, 15, 20) = 60 நிமிடம் = 1 மணி ∴ காலை 7:00 மணி
Group 1: கேள்வி: ஆறு மணிகள் 2, 4, 6, 8, 10, 12 நிமிட இடைவெளியில் ஒலிக்கின்றன. காலை 9:00 மணிக்கு ஆறும் ஒன்றாக ஒலித்தால், அடுத்த 12 மணி நேரத்தில் எத்தனை முறை அனைத்தும் ஒன்றாக ஒலிக்கும்? தீர்வு: மீ.சி.ம: 2, 4, 6, 8, 10, 12 2 = 2; 4 = 2²; 6 = 2 × 3; 8 = 2³; 10 = 2 × 5; 12 = 2² × 3 மீ.சி.ம = 2³ × 3 × 5 = 120 நிமிடம் = 2 மணி நேரம் 12 மணி நேரத்தில் = 12/2 = 6 முறை (துவக்க ஒலியைத் தவிர்த்து), துவக்கத்தையும் சேர்த்தால் 7 முறை. ∴ துவக்கத்தையும் சேர்த்து 7 முறை
Type 13: மிகப் பெரிய அளவீட்டுக் கலம் / ஓடு (Largest capacity/tile — HCF பயன்பாடு)
Group 4: கேள்வி: 24 லிட்டர், 36 லிட்டர் மற்றும் 60 லிட்டர் கொள்ளளவு கொண்ட மூன்று பீப்பாய்கள் உள்ளன. ஒவ்வொன்றையும் முழுமையாகச் செலவழிக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய கொள்கலனின் அளவு யாது? தீர்வு: மீ.பொ.வ (24, 36, 60) = 12 ∴ 12 லிட்டர்
Group 2: கேள்வி: ஒரு தரையின் அளவு 18 மீ × 12 மீ. முழுமையான சதுர ஓடுகளால் மூட வேண்டும் எனில், மிகப்பெரிய ஓட்டின் பக்க அளவு யாது? எத்தனை ஓடுகள் தேவை? தீர்வு: மீ.பொ.வ (1800, 1200) செ.மீ-ல் = 600 செ.மீ = 6 மீ ஓடுகளின் எண்ணிக்கை = (18 × 12)/(6 × 6) = 216/36 = 6 ∴ ஓடு = 6மீ × 6மீ; மொத்தம் = 6
Group 1: கேள்வி: மூன்று திரவங்கள் 403 லிட்டர், 434 லிட்டர் மற்றும் 465 லிட்டர் — தனித்தனியே சேமிக்க வேண்டும். ஒவ்வொன்றையும் முழு எண் முறையில் நிரப்பும் மிகப்பெரிய கொள்கலனின் அளவு மற்றும் மொத்தக் கொள்கலன்கள் யாவை? தீர்வு: மீ.பொ.வ (403, 434, 465) 403 = 13 × 31; 434 = 2 × 7 × 31; 465 = 3 × 5 × 31 மீ.பொ.வ = 31 கொள்கலன்கள் = 403/31 + 434/31 + 465/31 = 13 + 14 + 15 = 42 ∴ 31 லிட்டர் கொள்கலன்; மொத்தம் 42
Type 14: கூடுதல் / பெருக்கல் & மீ.பொ.வ கொடுத்து ஜோடிகள் காணல்
Group 4: கேள்வி: இரு எண்களின் மீ.பொ.வ = 6, மீ.சி.ம = 36. இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன் யாது? தீர்வு: = 6 × 36 = 216
Group 2: கேள்வி: இரு எண்களின் கூடுதல் = 168, மீ.பொ.வ = 24. அந்த ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை யாது? (இரண்டும் நேர் எண்) தீர்வு: எண்கள் 24a, 24b; gcd(a, b) = 1; 24(a+b) = 168 ⇒ a+b = 7 சார்பகா ஜோடிகள் (a, b): (1,6), (2,5), (3,4) — மூன்றுமே சார்பகா ∴ 3 ஜோடிகள்
Group 1: கேள்வி: இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன் = 2028, மீ.பொ.வ = 13 எனில், அத்தகைய எண் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை யாது? தீர்வு: எண்கள் 13a, 13b; gcd(a,b) = 1; 13a × 13b = 2028 ⇒ ab = 2028/169 = 12 ab = 12 ஆகும் சார்பகா ஜோடிகள்: (1,12), (3,4) ((2,6) இல் gcd = 2 ≠ 1) ∴ 2 ஜோடிகள்