சுருக்குதல்
கணிதக் கணக்குகளில் பல செயல்பாடுகள் (கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், அடைப்பு, அடுக்கு) ஒன்றாகக் கலந்து கொடுக்கப்பட்டிருக்கும். இவற்றை சரியான வரிசையில் தீர்வு காண்பதே சுருக்குதல் ஆகும். TNPSC தேர்வுகளில் Aptitude பிரிவில் ஒவ்வொரு தேர்விலும் நிச்சயமாகக் கேட்கப்படும் பாடம் இது.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
2. BODMAS விதி
கணக்குகளைத் தீர்க்கும் வரிசையை BODMAS விதி தீர்மானிக்கிறது.
| குறியீடு | ஆங்கிலம் | தமிழ் | முன்னுரிமை வரிசை |
|---|---|---|---|
| B | Bracket | அடைப்பு | 1 |
| O | Of | இன் (பெருக்கல் பொருள்) | 2 |
| D | Division | வகுத்தல் | 3 |
| M | Multiplication | பெருக்கல் | 3 |
| A | Addition | கூட்டல் | 4 |
| S | Subtraction | கழித்தல் | 4 |
குறிப்புகள் (TNPSC-க்கு முக்கியம்):
- அடைப்புக்குள் பல அடைப்புகள் இருந்தால் — ( ) → { } → [ ] என்ற வரிசையில் உள்ளிருந்து வெளியே தீர்க்க வேண்டும்.
- வகுத்தல் மற்றும் பெருக்கல் இரண்டும் ஒரே முன்னுரிமையில் இருந்தால், இடமிருந்து வலமாக எது முதலில் வருகிறதோ அதை முதலில் தீர்க்க வேண்டும்.
- அதே போல் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலும் இடமிருந்து வலமாக தீர்க்க வேண்டும்.
3. பின்னங்கள் (Fractions) — அடிப்படை விதிகள்
| செயல்பாடு | விதி |
|---|---|
| கூட்டல் / கழித்தல் | பகுதிகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் மட்டுமே தொகுதிகளைக் கூட்ட/கழிக்கலாம். வேறுபட்டால் முதலில் மீ.சி.ம கண்டு பகுதிகளை சமமாக்க வேண்டும். |
| பெருக்கல் | தொகுதியுடன் தொகுதியையும், பகுதியுடன் பகுதியையும் நேரடியாகப் பெருக்க வேண்டும். |
| வகுத்தல் | முதல் பின்னத்தை இரண்டாம் பின்னத்தின் தலைகீழியால் பெருக்க வேண்டும். |
| கலப்புப் பின்னம் | முழு எண் + பின்னம் என மாற்றி, பின் தொகுதி/பகுதி வடிவில் மாற்றி தீர்வு காண வேண்டும். |
4. தசம எண்கள் (Decimals) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
TNPSC-ல் அடிக்கடி வரும் decimal simplification-க்கான விதிகள் மூல கோப்பில் இல்லை; இங்கு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.
- கூட்டல்/கழித்தல்: தசம புள்ளிகளை நேர் கீழே நேராக வைத்து கணக்கிட வேண்டும்.
- பெருக்கல்: தசமப் புள்ளியை புறக்கணித்து இயல் எண்களாகப் பெருக்கிய பின், இரு எண்களிலும் உள்ள மொத்த தசம இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையின்படி விடையில் தசம புள்ளியை வைக்க வேண்டும்.
- வகுத்தல்: வகுக்கும் எண்ணில் (divisor) தசமப்புள்ளி இருந்தால், அதை இயல் எண்ணாக மாற்ற இரண்டு எண்களிலும் தசமப்புள்ளியை சம இடங்கள் வலப்புறமாக நகர்த்த வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு: 0.25 × 0.4 — தசமமில்லாமல் 25 × 4 = 100; மொத்த தசம இடங்கள் 2+1=3; எனவே விடை = 0.100 = 0.1
5. மறுவருடல் தசமங்கள் (Recurring Decimals) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
TNPSC தேர்வுகளில் அரிதாக வரும் ஆனால் முக்கியமான வகை.
| வகை | உதாரணம் | பின்னமாக மாற்றும் விதி |
|---|---|---|
| முழுவதும் மறுவருடல் | 0.3̅ = 0.333… | 3/9 = 1/3 (மறுவருடும் இலக்கங்களை எண்ணிக்கை அளவு 9-கள் பகுதியில் வைக்க வேண்டும்) |
| பகுதி மறுவருடல் | 0.16̅ = 0.1666… | (16-1)/90 = 15/90 = 1/6 |
விதி: முழு மறுவருடலுக்கு பகுதியில் 9-கள் (மறுவருடும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக); கலப்பு மறுவருடலுக்கு 9-கள் தொடர்ந்து பூஜ்யங்கள் (மறுவருடாத இலக்கங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக).
6. வர்க்கமூலம் மற்றும் கனமூலம் (Surds)
- √(a × b) = √a × √b
- √(a/b) = (√a)/(√b)
- ஒரு எண்ணின் வர்க்கமூலம் காண, அந்த எண்ணை prime factorization செய்து ஜோடிகளாகப் பிரித்து ஒவ்வொரு ஜோடியிலிருந்தும் ஒரு எண்ணை எடுக்க வேண்டும்.
- 1 முதல் 30 வரையிலான வர்க்கங்களை மனப்பாடம் வைத்திருப்பது தேர்வு நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்.
7. அடுக்கு விதிகள் (Laws of Exponents)
a^m × aⁿ = a^(m+n) (a^m)/(aⁿ) = a^(m-n) (a^m)ⁿ = a^(mn)
(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ (a/b)ⁿ = (aⁿ)/(bⁿ) a⁰ = 1 a⁻ⁿ = 1/(aⁿ)
8. இயற்கணிதச் சூத்திரங்கள் (Simplification-ல் பயன்படும்)
(a+b)² = a²+2ab+b² (a-b)² = a²-2ab+b²
a²-b²=(a+b)(a-b) (a+b)²-(a-b)² = 4ab (a+b)²+(a-b)² = 2(a²+b²)
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
9. "?" மதிப்பு காணும் வகை (Missing Number Type) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
TNPSC-ல் அதிகமாகக் கேட்கப்படும் model: ஒரு சமன்பாட்டில் "?" எனக் கொடுக்கப்பட்டு, அந்த இடத்தில் வர வேண்டிய எண்ணைக் கண்டறியச் சொல்லப்படும். இதைத் தீர்க்க, சமன்பாட்டின் மறுபக்கத்தை முழுவதுமாக simplify செய்து, பின் "?" ஐ மட்டும் தனியே ஒரு பக்கத்தில் கொண்டு வர வேண்டும் (Transposition Method — கூட்டல் ↔ கழித்தல், பெருக்கல் ↔ வகுத்தல் என பக்கம் மாறும்போது signs மாறும்).
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இவை மேற்கண்ட மூல கோப்பில் இல்லாத, புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: BODMAS அடிப்படை வினாக்கள்
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: 18 + 6 ÷ 2 × 3 - 4 = ? தீர்வு: வகுத்தல்/பெருக்கல் முதலில் (இடமிருந்து வலம்): 6 ÷ 2 = 3; 3 × 3 = 9 18 + 9 - 4 = 23
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: 45 - [28 - {28 - (28 - 28-8̅)}] = ? தீர்வு: உள்ளிருந்து வெளியே தீர்க்க வேண்டும். 28 - 8 = 20 28 - 20 = 8 28 - 8 = 20 28 - 20 = 8 45 - 8 = 37
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: 3/5 இன் 2/3 இன் (240 ÷ 8 × 2 - 15) = ? தீர்வு: அடைப்புக்குள் முதலில்: 240 ÷ 8 = 30; 30 × 2 = 60; 60 - 15 = 45 3/5 × 2/3 × 45 = 2/5 × 45 = 18
Type 2: பின்னங்களின் சுருக்கம்
Group 4: கேள்வி: 3/4 + 1/4 = ? தீர்வு: பகுதிகள் சமம் — நேரடியாகக் கூட்டலாம். (3+1)/4 = 4/4 = 1
Group 2: கேள்வி: 5/6 - 2/9 + 1/3 = ? தீர்வு: 6, 9, 3 இன் மீ.சி.ம = 18 15/18 - 4/18 + 6/18 = (15-4+6)/18 = 17/18
Group 1: கேள்வி: 2 1/3 ÷ 1 2/5 × 7/10 = ? தீர்வு: கலப்புப் பின்னங்களை மாற்ற வேண்டும்: 2 1/3 = 7/3, 1 2/5 = 7/5 7/3 ÷ 7/5 × 7/10 = 7/3 × 5/7 × 7/10 = (5 × 7)/(3 × 10) = 35/30 = 7/6 = 1 1/6
Type 3: தசம எண்களின் சுருக்கம்
Group 4: கேள்வி: 12.5 + 7.25 - 3.75 = ? தீர்வு: தசம புள்ளிகளை நேராக வைத்துக் கணக்கிட வேண்டும். 12.50 + 7.25 = 19.75; 19.75 - 3.75 = 16.00 = 16
Group 2: கேள்வி: 2.5 × 0.04 × 1.2 = ? தீர்வு: தசமமில்லாமல் பெருக்க வேண்டும்: 25 × 4 × 12 = 1200. மொத்த தசம இடங்கள் = 1+2+1=4 = 0.1200 = 0.12
Group 1: கேள்வி: (0.36 × 0.36 - 0.14 × 0.14)/(0.36 - 0.14) = ? தீர்வு: a²-b²=(a+b)(a-b) சூத்திரம் பயன்படுத்த வேண்டும் (a=0.36, b=0.14) = ((0.36+0.14)(0.36-0.14))/(0.36-0.14) = 0.36+0.14 = 0.50
Type 4: அடுக்கு விதிகள் (Exponents)
Group 4: கேள்வி: 2³ × 2² = ? தீர்வு: அடிமானம் சமம் என்பதால் அடுக்குகளைக் கூட்ட வேண்டும். 2³⁺² = 2⁵ = 32
Group 2: கேள்வி: (5²)³ ÷ 5⁴ = ? தீர்வு: (5²)³ = 5⁶; 5⁶ ÷ 5⁴ = 5⁶⁻⁴ = 5² = 25
Group 1: கேள்வி: (4⁻¹)⁻² × (2²)⁻³ = ? தீர்வு: (4⁻¹)⁻² = 4² = 16; (2²)⁻³ = 2⁻⁶ = 1/64 16 × 1/64 = 16/64 = 1/4
Type 5: வர்க்கமூலம் / கனமூலம் தொடர்பான வினாக்கள்
Group 4: கேள்வி: √144 + √81 = ? தீர்வு: √144=12; √81=9 12+9 = 21
Group 2: கேள்வி: √(?) = √625 - 8 எனில் "?" மதிப்பு காண்க. தீர்வு: √625 = 25 √x = 25-8 = 17 ⇒ x = 17² = 289
Group 1: கேள்வி: √(0.0009) × √(0.04) = ? தீர்வு: √(0.0009) = 0.03 (ஏனெனில் 0.03 × 0.03 = 0.0009); √(0.04) = 0.2 0.03 × 0.2 = 0.006
Type 6: இயற்கணித சூத்திர அடிப்படையிலான சுருக்கம்
Group 4: கேள்வி: a=7, b=3 எனில் a²-b² = ? தீர்வு: a²-b²=(a+b)(a-b) =(7+3)(7-3) = 10 × 4 = 40
Group 2: கேள்வி: x+y=12, x-y=4 எனில் x²-y² = ? தீர்வு: x²-y²=(x+y)(x-y) = 12 × 4 = 48
Group 1: கேள்வி: a/b = 7/4 எனில் (2a+3b)/(2a-3b) மதிப்பு காண்க. தீர்வு: a=7, b=4 எனக் கருதலாம் (விகிதம் மட்டும் தேவை என்பதால்). (2(7)+3(4))/(2(7)-3(4)) = (14+12)/(14-12) = 26/2 = 13
Type 7: "?" மதிப்பு காணும் வகை (Missing Number)
Group 4: கேள்வி: 25 + ? = 60 - 10 தீர்வு: 60-10=50 25+?=50 ⇒ ?=50-25=25
Group 2: கேள்வி: 3/5 ஆல் ஒரு எண்ணைப் பெருக்கி 12 கூட்டினால் 48 கிடைக்கிறது. அந்த எண் யாது? தீர்வு: எண் = x எனில்: 3/5x + 12 = 48 ⇒ 3/5x = 36 ⇒ x = 36 × 5/3 = 60
Group 1: கேள்வி: (?)/15 × 5/8 = 25/40 எனில் "?" மதிப்பு காண்க. தீர்வு: (?)/15 = 25/40 ÷ 5/8 = 25/40 × 8/5 = (25 × 8)/(40 × 5) = 200/200 = 1 ? = 1 × 15 = 15
Type 8: மறுவருடல் தசமங்களை பின்னமாக மாற்றுதல்
Group 4: கேள்வி: 0.5̅ ஐ பின்னமாக மாற்றுக. தீர்வு: ஒரு இலக்கம் மறுவருடல் என்பதால் பகுதியில் ஒரு 9. 0.5̅ = 5/9
Group 2: கேள்வி: 0.27̅ ஐ பின்னமாக மாற்றுக. தீர்வு: இரு இலக்கங்கள் மறுவருடல் — பகுதியில் இரு 9-கள். 0.27̅ = 27/99 = 3/11
Group 1: கேள்வி: 0.245̅ ஐ பின்னமாக மாற்றுக. தீர்வு: மறுவருடாத இலக்கம் 1 (2), மறுவருடும் இலக்கங்கள் 2 (45). 0.245̅ = (245-2)/990 = 243/990 = 27/110
மேற்கண்ட content-ல் "[சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]" என குறிக்கப்பட்ட பிரிவுகள் (Decimals, Recurring Decimals, Missing Number Type) மூல study material-ல் இல்லாதவை; TNPSC exam pattern அடிப்படையில் நான் புதிதாக சேர்த்தவை.