எண்கள் தொடர்பான கணக்குகள்
எண்களின் வகைகள், அவற்றின் பண்புகள், வகுபடும் தன்மை, காரணிகள், மீதி, இலக்க அமைப்பு ஆகியவற்றைப் பற்றி அறிந்துகொள்வதே எண்கள் தொடர்பான கணக்குகள் ஆகும். TNPSC-ன் Aptitude பிரிவில் அதிக எண்ணிக்கையில் வினாக்கள் கேட்கப்படும் பாடம் இதுவே. மேலும், மீ.பொ.வ – மீ.சி.ம, சராசரி, சதவீதம் போன்ற மற்ற அனைத்துப் பாடங்களுக்கும் இதுவே அடிப்படை ஆகும்.
TNPSC Group 1 / Group 2 / Group 2A / Group 4 / VAO — பொதுவான பாடம்
1. அறிமுகம்
2. எண் வகைகள்
| வகை | குறியீடு | விளக்கம் | எடுத்துக்காட்டு |
|---|---|---|---|
| இயல் எண்கள் (Natural Numbers) | N | எண்ணக்கூடிய எண்கள் | {1, 2, 3, 4, …} |
| முழு எண்கள் (Whole Numbers) | W | இயல் எண்களுடன் பூஜ்ஜியம் சேர்ந்தவை | {0, 1, 2, 3, …} |
| முழுக்கள் (Integers) | Z | மிகை, குறை எண்களும் பூஜ்ஜியமும் சேர்ந்தவை | {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} |
| ஒற்றைப்படை எண்கள் (Odd) | — | 2-ஆல் வகுபடாத எண்கள் | 1, 3, 5, 7, … |
| இரட்டைப்படை எண்கள் (Even) | — | 2-ஆல் வகுபடும் எண்கள் | 2, 4, 6, 8, … |
விகிதமுறு / விகிதமுறா எண்கள் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
| வகை | விளக்கம் | எடுத்துக்காட்டு |
|---|---|---|
| விகிதமுறு எண்கள் (Rational) | p/q வடிவில் எழுத முடியும் (q ≠ 0) | 3/5, 7, 0.25, 0.3̅ |
| விகிதமுறா எண்கள் (Irrational) | p/q வடிவில் எழுத முடியாது | √2, √3, π |
| மெய்யெண்கள் (Real) | விகிதமுறு + விகிதமுறா எண்கள் அனைத்தும் | அனைத்து எண்களும் |
3. பகா எண் (Prime Number)
- ஓர் எண் 1-ஆலும் அதே எண்ணாலும் மட்டுமே வகுபட்டால் அது பகா எண் ஆகும். அதாவது சரியாக இரண்டு காரணிகள் மட்டுமே இருக்கும்.
- 1 என்பது பகா எண்ணும் அல்ல, பகு எண்ணும் அல்ல.
- பகா எண்களில் வரக்கூடிய ஒரே இரட்டைப்படை எண் 2 மட்டுமே.
- மிகச் சிறிய பகா எண் = 2; மிகச் சிறிய ஒற்றைப்படை பகா எண் = 3.
- 2, 3 தவிர எல்லா பகா எண்களும் 6-ன் மடங்கை விட 1 குறைவாகவோ அல்லது 1 அதிகமாகவோ இருக்கும் (6n ± 1).
- எ.கா: 41 = (6 × 7) - 1; 43 = (6 × 7) + 1
- எச்சரிக்கை: 6n ± 1 வடிவில் உள்ள எல்லா எண்களும் பகா எண் அல்ல (எ.கா: 25 = (6×4)+1, ஆனால் 25 பகு எண்).
1 முதல் 100 வரை உள்ள 25 பகா எண்கள்:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
ஒரு எண் பகா எண்ணா என சோதிக்கும் முறை — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]: அந்த எண்ணின் வர்க்கமூலத்திற்கு உட்பட்ட பகா எண்களால் (2, 3, 5, 7, 11, 13, …) வகுத்துப் பார்க்க வேண்டும். எதனாலும் வகுபடவில்லை எனில் அது பகா எண்.
எ.கா: 211 பகா எண்ணா? √211 ≈ 14.5. எனவே 2, 3, 5, 7, 11, 13 ஆல் மட்டும் சோதித்தால் போதும். எதனாலும் வகுபடவில்லை ⇒ 211 பகா எண்.
4. பகு எண் (Composite Number)
- இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட காரணிகளைக் கொண்ட இயல் எண் பகு எண் எனப்படும்.
- 1-ஐயும், பகா எண்களையும் தவிர்த்த அனைத்து இயல் எண்களும் பகு எண்கள்.
- மிகச் சிறிய பகு எண் = 4
- மிகச் சிறிய ஒற்றைப்படை பகு எண் = 9
5. சார்பகா எண்கள் மற்றும் இரட்டைப் பகா எண்கள்
| வகை | விளக்கம் | எடுத்துக்காட்டு |
|---|---|---|
| சார்பகா எண்கள் (Co-prime) | இரு எண்களின் மீ.பொ.வ = 1 எனில் அவை சார்பகா எண்கள் | (2,3), (8,9), (7,8) |
| இரட்டைப் பகா எண்கள் (Twin Primes) | இரு பகா எண்களுக்கு இடையேயான வித்தியாசம் = 2 | (3,5), (5,7), (11,13) |
குறிப்பு: சார்பகா எண்கள் இரண்டும் பகா எண்களாக இருக்க வேண்டியதில்லை (எ.கா: 8, 9 இரண்டுமே பகு எண்கள், ஆனால் சார்பகா எண்கள்).
6. வர்க்கங்கள் (Squares) — 1 முதல் 30 வரை
| எண் | வர்க்கம் | எண் | வர்க்கம் |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 16 | 256 |
| 2 | 4 | 17 | 289 |
| 3 | 9 | 18 | 324 |
| 4 | 16 | 19 | 361 |
| 5 | 25 | 20 | 400 |
| 6 | 36 | 21 | 441 |
| 7 | 49 | 22 | 484 |
| 8 | 64 | 23 | 529 |
| 9 | 81 | 24 | 576 |
| 10 | 100 | 25 | 625 |
| 11 | 121 | 26 | 676 |
| 12 | 144 | 27 | 729 |
| 13 | 169 | 28 | 784 |
| 14 | 196 | 29 | 841 |
| 15 | 225 | 30 | 900 |
7. கனங்கள் (Cubes) — 1 முதல் 20 வரை
| எண் | கனம் | எண் | கனம் |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 1331 |
| 2 | 8 | 12 | 1728 |
| 3 | 27 | 13 | 2197 |
| 4 | 64 | 14 | 2744 |
| 5 | 125 | 15 | 3375 |
| 6 | 216 | 16 | 4096 |
| 7 | 343 | 17 | 4913 |
| 8 | 512 | 18 | 5832 |
| 9 | 729 | 19 | 6859 |
| 10 | 1000 | 20 | 8000 |
8. வர்க்க எண்களின் கடைசி இலக்கம் — முக்கிய குறுக்குவழி
| அடிமான எண்ணின் கடைசி இலக்கம் | வர்க்கத்தின் கடைசி இலக்கம் |
|---|---|
| 1, 9 | 1 |
| 2, 8 | 4 |
| 3, 7 | 9 |
| 4, 6 | 6 |
| 5 | 5 |
| 0 | 0 |
தேர்வுக்கான விதி: ஒரு இயல் எண்ணின் வர்க்கம் 0, 1, 4, 5, 6, 9 ஆகியவற்றில் மட்டுமே முடியும். 2, 3, 7, 8 இல் ஒருபோதும் முடியாது.
கூடுதல் விதி — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]: ஒரு எண் இரட்டைப்படை எண்ணிக்கையில் பூஜ்ஜியங்களில் முடிந்தால் மட்டுமே அது வர்க்க எண்ணாக இருக்க முடியும் (எ.கா: 400 ✓, 4000 ✗).
9. வகுபடும் தன்மை (Divisibility Rules)
| வகுத்தி | விதி |
|---|---|
| 2 | கடைசி இலக்கம் 0, 2, 4, 6, 8 ஆக இருத்தல் |
| 3 | இலக்கங்களின் கூடுதல் 3-ன் மடங்காக இருத்தல் |
| 4 | கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4-ன் மடங்காக இருத்தல் (அல்லது 00) |
| 5 | கடைசி இலக்கம் 0 அல்லது 5 ஆக இருத்தல் |
| 6 | 2-ஆலும் 3-ஆலும் வகுபடுதல் |
| 8 | கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் 8-ன் மடங்காக இருத்தல் |
| 9 | இலக்கங்களின் கூடுதல் 9-ன் மடங்காக இருத்தல் |
| 10 | கடைசி இலக்கம் 0 ஆக இருத்தல் |
| 11 | ஒற்றை இட இலக்கங்களின் கூடுதலுக்கும், இரட்டை இட இலக்கங்களின் கூடுதலுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் 0 அல்லது 11-ன் மடங்காக இருத்தல் |
| 12 | 3-ஆலும் 4-ஆலும் வகுபடுதல் |
11-ஆல் வகுபடும் தன்மை — விளக்கம்: எண்ணின் இலக்கங்களை இடமிருந்து வலமாக 1, 2, 3, … என எண்ணி, ஒற்றை இடங்களில் (1, 3, 5, …) உள்ள இலக்கங்களைத் தனியாகவும், இரட்டை இடங்களில் (2, 4, 6, …) உள்ள இலக்கங்களைத் தனியாகவும் கூட்ட வேண்டும்.
எ.கா: 121, 1331, 4994, 56265 — இவை அனைத்தும் 11-ஆல் வகுபடும்.
7 மற்றும் 13-ஆல் வகுபடும் தன்மை — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
TNPSC-ல் இவ்விதிகளும் கேட்கப்படுகின்றன; மூல கோப்பில் இல்லை.
| வகுத்தி | விதி | எடுத்துக்காட்டு |
|---|---|---|
| 7 | கடைசி இலக்கத்தை இரட்டிப்பாக்கி, மீதி எண்ணிலிருந்து கழிக்க வேண்டும். விடை 7-ன் மடங்கு எனில் வகுபடும். | 1092 → 109 - (2×2) = 105; 105 ÷ 7 = 15 ✓ |
| 13 | கடைசி இலக்கத்தை 4-ஆல் பெருக்கி, மீதி எண்ணுடன் கூட்ட வேண்டும். விடை 13-ன் மடங்கு எனில் வகுபடும். | 2197 → 219 + (7×4) = 247; 247 ÷ 13 = 19 ✓ |
10. வகுத்தல் விதி (Division Algorithm) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
மூல கோப்பில் இச்சூத்திரம் தனியே தரப்படவில்லை; ஆனால் பல மாதிரி வினாக்களுக்கு இதுவே அடிப்படை.
வகுபடும் எண் (Dividend) = (வகுத்தி × ஈவு) + மீதி
- மீதி எப்போதும் வகுத்தியை விடச் சிறியதாக இருக்க வேண்டும்.
- முக்கிய விதி: a என்பது b-ன் மடங்கு எனில், a-ஆல் வகுத்துக் கிடைத்த மீதியை மட்டும் b-ஆல் வகுத்தால், b-ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் மீதி கிடைக்கும்.
- எ.கா: ஒரு எண்ணை 56-ஆல் வகுக்க மீதி 29. 56 = 8 × 7 என்பதால், அதே எண்ணை 8-ஆல் வகுத்தால் மீதி = 29 ÷ 8-ன் மீதி = 5.
11. காரணிகளின் எண்ணிக்கை (Number of Factors) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
ஒரு எண்ணை பகா எண் காரணிப்படுத்தி N = a^p × b^q × c^r என எழுதினால்:
மொத்தக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை = (p+1)(q+1)(r+1)
அனைத்துக் காரணிகளின் கூடுதல் = (a⁽p+1)-1)/(a-1) × (b⁽q+1)-1)/(b-1) × (c⁽r+1)-1)/(c-1)
எ.கா: 36 = 2² × 3² ⇒ காரணிகள் = (2+1)(2+1) = 9
12. ஒன்றாம் இலக்கம் காணுதல் (Unit Digit) — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
பெருக்கலுக்கு: எண்களின் கடைசி இலக்கங்களை மட்டும் பெருக்கி, அதன் கடைசி இலக்கத்தை எடுத்தால் போதும்.
அடுக்குகளுக்கு — சுழற்சி அட்டவணை (Cyclicity):
| அடிமானத்தின் கடைசி இலக்கம் | சுழற்சி வரிசை | சுழற்சி நீளம் |
|---|---|---|
| 0, 1, 5, 6 | அதே இலக்கம் | 1 |
| 4 | 4, 6 | 2 |
| 9 | 9, 1 | 2 |
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
முறை: அடுக்கை சுழற்சி நீளத்தால் வகுத்து மீதியைக் காண்க. மீதி 0 எனில் சுழற்சியின் கடைசி இலக்கத்தை எடுக்க வேண்டும்.
13. இருமான எண் முறை (Binary System) — Base 2
- இருமான எண் முறையில் 0 மற்றும் 1 ஆகிய இரு இலக்கங்கள் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படும்.
- இருமானம் → தசமம்: வலமிருந்து இடமாக ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் 2⁰, 2¹, 2², … ஆல் பெருக்கிக் கூட்ட வேண்டும்.
- தசமம் → இருமானம் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]: எண்ணைத் தொடர்ந்து 2-ஆல் வகுத்து, மீதிகளைக் கீழிருந்து மேலாக எழுத வேண்டும்.
எ.கா: (111111)₂ = 32+16+8+4+2+1 = 63₁₀
14. முக்கியத் தொடர் கூடுதல் சூத்திரங்கள் — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
1+2+3+⋯+n = (n(n+1))/2 1²+2²+⋯+n² = (n(n+1)(2n+1))/6
1³+2³+⋯+n³ = [(n(n+1))/2]² முதல் n ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் = n²
முதல் n இரட்டை எண்களின் கூடுதல் = n(n+1)
15. சேர்வு (Combination) மற்றும் கை கொடுத்தல் விதி
nC_r = (n!)/(r! (n-r)!) nC_r = nC_((n-r))
கை கொடுத்தல் (Handshake) விதி: n நபர்கள் ஒருவருக்கொருவர் ஒரு முறை கை கொடுத்தால்,
மொத்தக் கை கொடுத்தல்கள் = nC₂ = (n(n-1))/2
16. இரு இலக்க எண் அமைப்பு — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
பத்தாம் இலக்கம் = t, ஒன்றாம் இலக்கம் = u எனில்:
எண் = 10t + u இலக்கங்கள் மாற்றப்பட்ட எண் = 10u + t
இரண்டின் வித்தியாசம் = 9(u - t) இரண்டின் கூடுதல் = 11(t+u)
தேர்வுக் குறிப்பு: இலக்கங்களை மாற்றுவதால் ஏற்படும் வித்தியாசம் எப்போதும் 9-ன் மடங்காகவே இருக்கும்.
17. இயற்கணிதச் சூத்திரங்கள் (எண் கணக்குகளில் பயன்படுபவை)
(a+b)² = a²+2ab+b² (a-b)² = a²-2ab+b²
a²+b² = (a+b)² - 2ab ab = ((a+b)² - (a²+b²))/2
a²-b² = (a+b)(a-b) ab = ((a+b)²-(a-b)²)/4
கூடுதல் – வித்தியாசம் குறுக்குவழி: இரு எண்களின் கூடுதல் S, வித்தியாசம் D எனில்,
பெரிய எண் = (S+D)/2 சிறிய எண் = (S-D)/2
குறிப்பு: ஒவ்வொரு Type-க்கும் மூன்று நிலைகளில் (Group 4 — எளிமை, Group 2 — நடுத்தரம், Group 1 — கடினம்) தனித்தனி எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இவை மூல கோப்பில் இல்லாத, அதே model-ஐப் பின்பற்றி புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட வினாக்கள்.
Type 1: பகா எண் / பகு எண் இனங்காணல்
Group 4 (எளிமை): கேள்வி: 1 முதல் 20 வரை உள்ள பகா எண்களின் எண்ணிக்கை யாது? தீர்வு: பகா எண்கள் = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 எண்ணிக்கை = 8
Group 2 (நடுத்தரம்): கேள்வி: 187, 203, 211, 247 — இவற்றில் எது பகா எண்? தீர்வு: ஒவ்வொன்றையும் சிறிய பகா எண்களால் வகுத்துச் சோதிக்க வேண்டும்.
- 187 = 11 × 17 ⇒ பகு எண்
- 203 = 7 × 29 ⇒ பகு எண்
- 247 = 13 × 19 ⇒ பகு எண்
- 211: √211 ≈ 14.5; 2,3,5,7,11,13 எதனாலும் வகுபடவில்லை ∴ 211 பகா எண்
Group 1 (கடினம்): கேள்வி: 50 முதல் 70 வரையிலான பகா எண்களின் கூடுதலில் 1/15 பங்கு எந்த எண்ணின் வர்க்கம்? தீர்வு: 50–70 இடையேயான பகா எண்கள் = 53, 59, 61, 67 கூடுதல் = 53+59+61+67 = 240 240 × 1/15 = 16 16 = 4² ⇒ விடை = 4
Type 2: விடுபட்ட இலக்கம் காணல் (வகுபடும் தன்மை)
Group 4: கேள்வி: 78 4 என்ற எண் 3-ஆல் முழுமையாக வகுபடும் எனில் இடத்தில் வரும் மிகச்சிறிய எண் யாது? தீர்வு: இலக்கங்களின் கூடுதல் = 7+8++4 = 19 + 19-க்கு அடுத்து வரும் 3-ன் மடங்கு = 21 * = 21 - 19 = 2 சரிபார்ப்பு: 7824 ÷ 3 = 2608 ✓
Group 2: கேள்வி: 62158 என்ற எண் 9-ஆல் முழுமையாக வகுபடும் எனில் மதிப்பு யாது? தீர்வு: இலக்கங்களின் கூடுதல் = 6+2++1+5+8 = 22 + 22-க்கு அடுத்து வரும் 9-ன் மடங்கு = 27 * = 27 - 22 = 5 சரிபார்ப்பு: 625158 ÷ 9 = 69462 ✓
Group 1: கேள்வி: 4832 17 என்ற எண் 11-ஆல் முழுமையாக வகுபடும் எனில் மதிப்பு யாது? தீர்வு: இடமிருந்து வலமாக இலக்க இடங்கள்: 4(1), 8(2), 3(3), 2(4), (5), 1(6), 7(7) ஒற்றை இட இலக்கங்களின் கூடுதல் = 4+3++7 = 14 + இரட்டை இட இலக்கங்களின் கூடுதல் = 8+2+1 = 11 வித்தியாசம் = (14+) - 11 = 3 + இது 11-ன் மடங்காக இருக்க வேண்டும்: 3 + = 11 ⇒ * = 8 சரிபார்ப்பு: 4832817 ÷ 11 = 439347 ✓
Type 3: வகுபடுமாறு கூட்ட / கழிக்க வேண்டிய மிகச்சிறிய எண்
Group 4: கேள்வி: 2534-உடன் எந்த மிகச்சிறிய எண்ணைக் கூட்டினால் கிடைக்கும் எண் 9-ஆல் முழுமையாக வகுபடும்? தீர்வு: இலக்கங்களின் கூடுதல் = 2+5+3+4 = 14 14-க்கு அடுத்து வரும் 9-ன் மடங்கு = 18 கூட்ட வேண்டிய எண் = 18 - 14 = 4 சரிபார்ப்பு: 2538 ÷ 9 = 282 ✓
Group 2: கேள்வி: 5789-லிருந்து எந்த மிகச்சிறிய எண்ணைக் கழித்தால் கிடைக்கும் எண் 6-ஆல் முழுமையாக வகுபடும்? தீர்வு: 5789 ÷ 6 ⇒ ஈவு = 964, மீதி = 5 கழிக்க வேண்டிய எண் = மீதி = 5 5789 - 5 = 5784; 5784 ÷ 6 = 964 ✓
Group 1: கேள்வி: 4571-உடன் எந்த மிகச்சிறிய எண்ணைக் கூட்டினால் கிடைக்கும் எண் 12-ஆல் முழுமையாக வகுபடும்? தீர்வு: 12 = 3 × 4 — எனவே 3-ஆலும் 4-ஆலும் வகுபட வேண்டும். 4571 ÷ 12 ⇒ ஈவு = 380, மீதி = 11 கூட்ட வேண்டிய எண் = 12 - 11 = 1 சரிபார்ப்பு: 4572 — இலக்கக் கூடுதல் = 18 (3-ஆல் வகுபடும்); கடைசி இரு இலக்கம் 72 (4-ஆல் வகுபடும்) 4572 ÷ 12 = 381 ✓
Type 4: அடுத்தடுத்த எண்கள்
Group 4: கேள்வி: அடுத்தடுத்த மூன்று இயல் எண்களின் கூடுதல் 96 எனில் அவற்றுள் மிகச்சிறிய எண் யாது? தீர்வு: எண்கள் x, x+1, x+2 எனக்கொள்க. 3x + 3 = 96 ⇒ 3x = 93 ⇒ x = 31 எளிய முறை: சராசரி = 96/3 = 32 ⇒ எண்கள் 31, 32, 33 ∴ மிகச்சிறிய எண் = 31
Group 2: கேள்வி: அடுத்தடுத்த நான்கு ஒற்றைப்படை எண்களின் கூடுதல் 216 எனில் அவற்றுள் மிகப்பெரிய எண் யாது? தீர்வு: எண்கள் x, x+2, x+4, x+6 எனக்கொள்க. 4x + 12 = 216 ⇒ 4x = 204 ⇒ x = 51 எண்கள் = 51, 53, 55, 57 ∴ மிகப்பெரிய எண் = 57
Group 1: கேள்வி: அடுத்தடுத்த ஐந்து இரட்டைப்படை எண்களின் கூடுதல் 320 எனில், மிகச்சிறிய எண்ணிற்கும் மிகப்பெரிய எண்ணிற்கும் உள்ள விகிதம் யாது? தீர்வு: சராசரி = 320/5 = 64 (இதுவே நடு எண்) எண்கள் = 60, 62, 64, 66, 68 விகிதம் = 60 : 68 = 15 : 17
Type 5: ஒரு எண்ணின் பின்னப் பங்கு தொடர்பான கணக்கு
Group 4: கேள்வி: ஒரு எண்ணின் 3/5 பங்கு 72 எனில் அந்த எண் யாது? தீர்வு: எண் = x எனக்கொள்க. 3/5x = 72 ⇒ x = 72 × 5/3 = 120
Group 2: கேள்வி: ஒரு எண்ணிலிருந்து அதன் 2/7 பங்கைக் கழித்தால் 105 கிடைக்கிறது எனில் அந்த எண் யாது? தீர்வு: x - 2x/7 = 105 ⇒ (7x - 2x)/7 = 105 ⇒ 5x/7 = 105 x = 105 × 7/5 = 147
Group 1: கேள்வி: ஒரு எண்ணின் 4/5 பங்கின் 3/8 பங்கின் 1/3 பங்கு 42 ஆகும் எனில் அந்த எண் யாது? தீர்வு: x × 4/5 × 3/8 × 1/3 = 42 4/5 × 3/8 = 12/40 = 3/10; 3/10 × 1/3 = 1/10 x/10 = 42 ⇒ x = 420
Type 6: இரு எண்களின் கூடுதல் / வித்தியாசம் / வர்க்கக் கூடுதல்
Group 4: கேள்வி: இரு எண்களின் கூடுதல் 30, வித்தியாசம் 6 எனில் அவ்வெண்கள் யாவை? தீர்வு: பெரிய எண் = (30+6)/2 = 18; சிறிய எண் = (30-6)/2 = 12
Group 2: கேள்வி: இரு எண்களின் கூடுதல் 34, வித்தியாசம் 10 எனில் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் யாது? தீர்வு: எண்கள் = (34+10)/2 = 22 மற்றும் (34-10)/2 = 12 22 × 12 = 264 சூத்திர முறை: ab = ((a+b)²-(a-b)²)/4 = (1156-100)/4 = 1056/4 = 264
Group 1: கேள்வி: இரு எண்களின் கூடுதல் 25; அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 337 எனில் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் யாது? தீர்வு: (a+b)² = a²+b²+2ab (25)² = 337 + 2ab 625 - 337 = 2ab ⇒ 2ab = 288 ab = 144 சரிபார்ப்பு: எண்கள் 9, 16 ⇒ 9+16=25; 81+256=337; 9×16=144 ✓
Type 7: வர்க்கம், வர்க்கமூலம் மற்றும் கனம்
Group 4: கேள்வி: √576 + √([)3]125 = ? தீர்வு: √576 = 24; √([)3]125 = 5 24 + 5 = 29
Group 2: கேள்வி: ஒரு வர்க்க எண்ணிலிருந்து 6³-ஐக் கழித்தால் 1009 கிடைக்கிறது எனில், அந்த வர்க்க எண்ணின் வர்க்கமூலம் யாது? தீர்வு: வர்க்க எண் = x² எனக்கொள்க. x² - 216 = 1009 ⇒ x² = 1225 x = √1225 = 35 குறிப்பு: கடைசி இலக்கம் 5 என்பதால் மூலமும் 5-இல் முடியும்; முதல் இரு இலக்கம் 12-க்கு உட்பட்ட மிகப்பெரிய வர்க்கம் 9 = 3² ⇒ மூலம் = 35.
Group 1: கேள்வி: 15876, 27889, 43648, 60025 — இவற்றில் எது ஒரு இயல் எண்ணின் வர்க்கமாக இருக்க முடியாது? தீர்வு: வர்க்க எண்கள் 0, 1, 4, 5, 6, 9-இல் மட்டுமே முடியும். 43648 என்பது 8-இல் முடிகிறது ⇒ இது வர்க்கமாக இருக்க முடியாது. சரிபார்ப்பு: 15876 = 126²; 27889 = 167²; 60025 = 245² ∴ விடை = 43648
Type 8: ஈவு – வகுத்தி – மீதி தொடர்பான கணக்கு
Group 4: கேள்வி: ஒரு எண்ணை 9-ஆல் வகுக்க ஈவு 12, மீதி 5 கிடைக்கிறது. அந்த எண் யாது? தீர்வு: வகுபடும் எண் = (வகுத்தி × ஈவு) + மீதி = (9 × 12) + 5 = 108 + 5 = 113
Group 2: கேள்வி: ஒரு எண்ணை 45-ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 32 கிடைக்கிறது. அதே எண்ணை 9-ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதி யாது? தீர்வு: 45 = 9 × 5 — எனவே மீதியை மட்டும் 9-ஆல் வகுத்தால் போதும். 32 ÷ 9 ⇒ ஈவு = 3, மீதி = 5 ∴ மீதி = 5
Group 1: கேள்வி: ஒரு வகுத்தல் கணக்கில் வகுத்தியானது ஈவைப் போல் 6 மடங்கும், மீதியைப் போல் 4 மடங்கும் உள்ளது. மீதி 12 எனில் வகுபடும் எண் யாது? தீர்வு: வகுத்தி = 4 × மீதி = 4 × 12 = 48 ஈவு = வகுத்தி/6 = 48/6 = 8 வகுபடும் எண் = (48 × 8) + 12 = 384 + 12 = 396 சரிபார்ப்பு: 396 ÷ 48 ⇒ ஈவு = 8, மீதி = 12 ✓
Type 9: ஒன்றாம் இலக்கம் காணுதல் (Unit Digit)
Group 4: கேள்வி: 236 × 471 × 158 என்ற பெருக்கற்பலனின் ஒன்றாம் இலக்கம் யாது? தீர்வு: கடைசி இலக்கங்களை மட்டும் பெருக்க வேண்டும். 6 × 1 = 6; 6 × 8 = 48 ⇒ ஒன்றாம் இலக்கம் = 8
Group 2: கேள்வி: 7⁴⁵-ன் ஒன்றாம் இலக்கம் யாது? தீர்வு: 7-ன் சுழற்சி = 7, 9, 3, 1 (நீளம் 4) 45 ÷ 4 ⇒ மீதி = 1 சுழற்சியின் முதல் இலக்கம் = 7 ∴ ஒன்றாம் இலக்கம் = 7
Group 1: கேள்வி: 3³⁷ × 4²⁵-ன் ஒன்றாம் இலக்கம் யாது? தீர்வு: 3-ன் சுழற்சி = 3, 9, 7, 1 (நீளம் 4); 37 ÷ 4 ⇒ மீதி 1 ⇒ இலக்கம் = 3 4-ன் சுழற்சி = 4, 6 (நீளம் 2); 25 ÷ 2 ⇒ மீதி 1 ⇒ இலக்கம் = 4 3 × 4 = 12 ⇒ ஒன்றாம் இலக்கம் = 2
Type 10: பக்க எண்களுக்குப் பயன்படும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை
Group 4: கேள்வி: 50 பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு புத்தகத்தில் பக்கங்களுக்கு எண்ணிட மொத்தம் எத்தனை இலக்கங்கள் தேவைப்படும்? தீர்வு: 1–9 ⇒ 9 பக்கங்கள் × 1 = 9 10–50 ⇒ 41 பக்கங்கள் × 2 = 82 மொத்தம் = 9 + 82 = 91
Group 2: கேள்வி: 250 பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு புத்தகத்தில் மொத்தம் எத்தனை இலக்கங்கள் பயன்படுத்தப்படும்? தீர்வு: 1–9 ⇒ 9 × 1 = 9 10–99 ⇒ 90 × 2 = 180 100–250 ⇒ 151 × 3 = 453 மொத்தம் = 9 + 180 + 453 = 642
Group 1: கேள்வி: ஒரு புத்தகத்தின் பக்கங்களுக்கு எண்ணிட மொத்தம் 1194 இலக்கங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன எனில், அப்புத்தகத்தில் எத்தனை பக்கங்கள் உள்ளன? தீர்வு: 1–99 வரை பயன்படும் இலக்கங்கள் = 9 + 180 = 189 மீதி இலக்கங்கள் = 1194 - 189 = 1005 இவை மூன்று இலக்கப் பக்கங்கள் ⇒ 1005/3 = 335 பக்கங்கள் மொத்தப் பக்கங்கள் = 99 + 335 = 434 சரிபார்ப்பு: 9 + 180 + (335 × 3) = 9+180+1005 = 1194 ✓
Type 11: இரு இலக்க எண்ணின் இலக்க மாற்றம்
Group 4: கேள்வி: ஒரு இரு இலக்க எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 11. பத்தாம் இலக்கம், ஒன்றாம் இலக்கத்தை விட 3 அதிகம் எனில் அந்த எண் யாது? தீர்வு: t + u = 11; t - u = 3 t = (11+3)/2 = 7; u = (11-3)/2 = 4 ∴ எண் = 74
Group 2: கேள்வி: ஒரு இரு இலக்க எண்ணின் இலக்கங்களை மாற்றினால் கிடைக்கும் புதிய எண், பழைய எண்ணை விட 27 அதிகம். இலக்கங்களின் கூடுதல் 11 எனில் பழைய எண் யாது? தீர்வு: (10u+t) - (10t+u) = 9(u-t) = 27 ⇒ u - t = 3 t + u = 11 மற்றும் u - t = 3: u = (11+3)/2 = 7; t = (11-3)/2 = 4 ∴ பழைய எண் = 47 சரிபார்ப்பு: 74 - 47 = 27 ✓
Group 1: கேள்வி: ஒரு இரு இலக்க எண், அதன் இலக்கங்களின் கூடுதலைப் போல் 4 மடங்கு உள்ளது. இலக்கங்களை மாற்றினால் கிடைக்கும் எண், அசல் எண்ணை விட 27 அதிகம் எனில் அசல் எண் யாது? தீர்வு: எண் = 10t + u 10t + u = 4(t+u) ⇒ 10t + u = 4t + 4u ⇒ 6t = 3u ⇒ u = 2t இலக்க மாற்றம்: 9(u - t) = 27 ⇒ u - t = 3 2t - t = 3 ⇒ t = 3, u = 6 ∴ அசல் எண் = 36 சரிபார்ப்பு: 4 × (3+6) = 36 ✓; 63 - 36 = 27 ✓
Type 12: நாணயங்கள் / நோட்டுகள் தொடர்பான கணக்கு
Group 4: கேள்வி: ஒரு பெட்டியில் ரூ.1, ரூ.2, ரூ.5 நாணயங்கள் தலா 20 வீதம் உள்ளன. மொத்த மதிப்பு எவ்வளவு? தீர்வு: 20 × (1 + 2 + 5) = 20 × 8 = ரூ. 160
Group 2: கேள்வி: ஒருவரிடம் ரூ.1, ரூ.2, ரூ.5 நாணயங்கள் சம எண்ணிக்கையில் உள்ளன. மொத்த மதிப்பு ரூ.320 எனில், ரூ.5 நாணயங்களின் மொத்த மதிப்பு எவ்வளவு? தீர்வு: ஒவ்வொரு வகையிலும் x நாணயங்கள் எனக்கொள்க. 1x + 2x + 5x = 320 ⇒ 8x = 320 ⇒ x = 40 ரூ.5 நாணயங்களின் மதிப்பு = 5 × 40 = ரூ. 200
Group 1: கேள்வி: ஒரு பெட்டியில் ரூ.10 நாணயங்களைப் போல் இரு மடங்கு ரூ.5 நாணயங்களும், ரூ.5 நாணயங்களைப் போல் மூன்று மடங்கு ரூ.2 நாணயங்களும் உள்ளன. மொத்த மதிப்பு ரூ.640 எனில், மொத்த நாணயங்களின் எண்ணிக்கை யாது? தீர்வு: ரூ.10 நாணயங்கள் = x எனக்கொள்க. ரூ.5 நாணயங்கள் = 2x; ரூ.2 நாணயங்கள் = 3 × 2x = 6x 10x + 5(2x) + 2(6x) = 640 10x + 10x + 12x = 640 ⇒ 32x = 640 ⇒ x = 20 மொத்த நாணயங்கள் = x + 2x + 6x = 9x = 9 × 20 = 180 சரிபார்ப்பு: 10(20) + 5(40) + 2(120) = 200+200+240 = 640 ✓
Type 13: சமமாகப் பங்கிடும் கணக்கு (Distribution)
Group 4: கேள்வி: 240 இனிப்புகளை 16 குழந்தைகளுக்குச் சமமாகப் பிரித்தால் ஒவ்வொருவரும் எத்தனை இனிப்புகள் பெறுவர்? தீர்வு: 240/16 = 15
Group 2: கேள்வி: 300 இனிப்புகள் சில குழந்தைகளுக்குச் சமமாகப் பிரிக்கப்பட்டன. அதில் 10 குழந்தைகள் இனிப்பு பெறவில்லை. மீதிக் குழந்தைகள் ஒவ்வொருவரும் 12 இனிப்புகள் பெற்றால், மொத்தக் குழந்தைகள் எத்தனை? தீர்வு: இனிப்பு பெற்ற குழந்தைகள் = 300/12 = 25 மொத்தக் குழந்தைகள் = 25 + 10 = 35
Group 1: கேள்வி: ஒரு பள்ளியில் 120 குழந்தைகளுக்குப் புத்தகங்கள் சமமாக வழங்க முடிவு செய்யப்பட்டது. ஆனால் 20 குழந்தைகள் வராததால், மீதி ஒவ்வொருவரும் 3 புத்தகங்கள் அதிகமாகப் பெற்றனர். மொத்தப் புத்தகங்கள் எத்தனை? தீர்வு: மொத்தப் புத்தகங்கள் = x எனக்கொள்க. வந்த குழந்தைகள் = 120 - 20 = 100 x/100 - x/120 = 3 100 மற்றும் 120-ன் மீ.சி.ம = 600 (6x - 5x)/600 = 3 ⇒ x/600 = 3 ⇒ x = 1800 சரிபார்ப்பு: 1800/100 = 18; 1800/120 = 15; வித்தியாசம் = 3 ✓
Type 14: தேர்வு மதிப்பெண் (சரி / தவறு விடைகள்)
Group 4: கேள்வி: ஒரு தேர்வில் 40 வினாக்கள். ஒவ்வொரு சரியான விடைக்கும் 2 மதிப்பெண்; தவறான விடைக்கு மதிப்பெண் கழிக்கப்படுவதில்லை. ஒரு மாணவர் 33 வினாக்களுக்குச் சரியாக விடையளித்தால் மதிப்பெண் எவ்வளவு? தீர்வு: 33 × 2 = 66 மதிப்பெண்கள்
Group 2: கேள்வி: 80 வினாக்கள் கொண்ட தேர்வில் ஒரு மாணவர் அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளித்தார். சரியான விடைக்கு 1 மதிப்பெண்; தவறான விடைக்கு 1/4 மதிப்பெண் கழிக்கப்படுகிறது. அவர் 55 மதிப்பெண்கள் பெற்றால், எத்தனை வினாக்களுக்குச் சரியாக விடையளித்தார்? தீர்வு: சரியான விடைகள் = c; தவறான விடைகள் = 80 - c c - (80-c)/4 = 55 4-ஆல் பெருக்க: 4c - (80 - c) = 220 ⇒ 5c = 300 ⇒ c = 60 சரிபார்ப்பு: தவறு = 20; 60 - 20/4 = 60 - 5 = 55 ✓
Group 1: கேள்வி: ஒரு மாணவர் 120 வினாக்களுக்கும் விடையளித்தும் மொத்தம் 0 மதிப்பெண் பெற்றார். சரியான விடைக்கு 1 மதிப்பெண்; தவறான விடைக்கு 1/3 மதிப்பெண் கழிக்கப்படுகிறது எனில், எத்தனை வினாக்களுக்குத் தவறாக விடையளித்தார்? தீர்வு: சரி = c; தவறு = w; c + w = 120 c - w/3 = 0 ⇒ c = w/3 w/3 + w = 120 ⇒ 4w/3 = 120 ⇒ w = 90 ∴ தவறான விடைகள் = 90 (சரி = 30) சரிபார்ப்பு: 30 - 90/3 = 30 - 30 = 0 ✓
Type 15: கை கொடுத்தல் மற்றும் சேர்வு (Handshake & Combination)
Group 4: கேள்வி: ஒரு கூட்டத்தில் 12 பேர் ஒருவருக்கொருவர் ஒரு முறை கை கொடுத்தால், மொத்தம் எத்தனை முறை கை கொடுத்திருப்பர்? தீர்வு: (n(n-1))/2 = (12 × 11)/2 = 66
Group 2: கேள்வி: ஒரு கூட்டத்தில் மொத்தம் 190 முறை கை கொடுக்கப்பட்டது எனில், கூட்டத்தில் எத்தனை பேர் இருந்தனர்? தீர்வு: (n(n-1))/2 = 190 ⇒ n(n-1) = 380 20 × 19 = 380 ⇒ n = 20
Group 1: கேள்வி: 12 வீரர்கள் கொண்ட ஒரு குழுவிலிருந்து 9 பேரை எத்தனை வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்? தீர்வு: nC_r = nC_((n-r)) என்பதால், 12C₉ = 12C₃ = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1) = 1320/6 = 220
Type 16: எண் அமைப்பு மாற்றம் (Binary ↔ Decimal)
Group 4: கேள்வி: (1011)₂ என்ற இருமான எண்ணின் தசம மதிப்பு யாது? தீர்வு: வலமிருந்து இடமாக 2⁰, 2¹, 2², 2³ ஆல் பெருக்க வேண்டும். = (1×8) + (0×4) + (1×2) + (1×1) = 8+0+2+1 = 11
Group 2: கேள்வி: (110101)₂ என்ற இருமான எண்ணின் தசம மதிப்பு யாது? தீர்வு: = (1×32)+(1×16)+(0×8)+(1×4)+(0×2)+(1×1) = 32+16+0+4+0+1 = 53
Group 1: கேள்வி: தசம எண் 45-ஐ இருமான எண்ணாக (Binary) மாற்றுக. தீர்வு: 45-ஐத் தொடர்ந்து 2-ஆல் வகுத்து மீதிகளை எழுத வேண்டும்.
| வகுத்தல் | ஈவு | மீதி |
|---|---|---|
| 45 ÷ 2 | 22 | 1 |
| 22 ÷ 2 | 11 | 0 |
| 11 ÷ 2 | 5 | 1 |
| 5 ÷ 2 | 2 | 1 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
மீதிகளைக் கீழிருந்து மேலாக எழுத: 45₁₀ = (101101)₂ சரிபார்ப்பு: 32+0+8+4+0+1 = 45 ✓
Type 17: காரணிகளின் எண்ணிக்கை — [சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]
Group 4: கேள்வி: 36-ன் மொத்தக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை யாது? தீர்வு: 36 = 2² × 3² காரணிகள் = (2+1)(2+1) = 3 × 3 = 9 (காரணிகள்: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)
Group 2: கேள்வி: 720-ன் மொத்தக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை யாது? தீர்வு: 720 = 2⁴ × 3² × 5¹ காரணிகள் = (4+1)(2+1)(1+1) = 5 × 3 × 2 = 30
Group 1: கேள்வி: 1800-ன் மொத்தக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையையும், அக்காரணிகள் அனைத்தின் கூடுதலையும் காண்க. தீர்வு: 1800 = 2³ × 3² × 5² காரணிகளின் எண்ணிக்கை = (3+1)(2+1)(2+1) = 4 × 3 × 3 = 36 காரணிகளின் கூடுதல் = (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5+25) = 15 × 13 × 31 = 6045
சொல்லகராதி (Quick Glossary)
| தமிழ் | English |
|---|---|
| இயல் எண்கள் | Natural Numbers |
| முழு எண்கள் | Whole Numbers |
| முழுக்கள் | Integers |
| பகா எண் | Prime Number |
| பகு எண் | Composite Number |
| சார்பகா எண்கள் | Co-prime Numbers |
| இரட்டைப் பகா எண்கள் | Twin Primes |
| காரணி | Factor |
| மடங்கு | Multiple |
| வகுத்தி | Divisor |
| ஈவு | Quotient |
| மீதி | Remainder |
| வகுபடும் எண் | Dividend |
| ஒன்றாம் இலக்கம் | Unit Digit |
| பத்தாம் இலக்கம் | Ten's Digit |
| இருமான எண் | Binary Number |
| விகிதமுறு எண் | Rational Number |
| விகிதமுறா எண் | Irrational Number |
| கனம் | Cube |
| வர்க்கம் | Square |
மேற்கண்ட content-ல் "[சேர்க்கப்பட்ட பகுதி]" எனக் குறிக்கப்பட்ட பிரிவுகள் (விகிதமுறு/விகிதமுறா எண்கள், பகா எண் சோதனை முறை, 7 & 13 வகுபடும் தன்மை, வகுத்தல் விதி, காரணிகளின் எண்ணிக்கை, ஒன்றாம் இலக்கச் சுழற்சி, தொடர் கூடுதல் சூத்திரங்கள், தசமம் → இருமானம் மாற்றம், இரு இலக்க எண் அமைப்பு) மூல study material-ல் இல்லாதவை; TNPSC exam pattern அடிப்படையில் புதிதாகச் சேர்க்கப்பட்டவை.
📝 Terminology & Factual Corrections (மூல கோப்பிலிருந்து)
Combined_TA.md மூல கோப்பில் காணப்பட்ட பின்வரும் தவறுகள் இந்தப் பாடத்தில் சரிசெய்யப்பட்டுள்ளன:
| # | மூல கோப்பில் உள்ளது (தவறு) | சரிசெய்யப்பட்டது | குறிப்பு |
|---|---|---|---|
| 1 | "பகா எண்: 1-ஐ தவிர மற்ற அனைத்து இயல் எண்களும் பகா எண்கள்" — மிகச் சிறிய பகா எண் = 4; மிகச் சிறிய ஒற்றைப்படை பகா எண் = 9 (மூலம்: வரி 795–797) | பகு எண் (Composite): மிகச் சிறிய பகு எண் = 4; மிகச் சிறிய ஒற்றைப்படை பகு எண் = 9. பகா எண் (Prime) = சரியாக இரண்டு காரணிகள் மட்டும் கொண்ட எண். | Factual error — 4 மற்றும் 9 ஆகியவை பகா எண் அல்ல, பகு எண்கள். |
| 2 | "1 என்பது பகா எண்ணும் அல்ல, பகா எண்ணும் அல்ல" (மூலம்: வரி 804) | "1 என்பது பகா எண்ணும் அல்ல, பகு எண்ணும் அல்ல" | Typo — "பகா" இரண்டு முறை; ஒன்று "பகு" ஆக இருக்க வேண்டும். |
| 3 | "இரட்டைபகா எண்கள்" (மூலம்: வரி 819) | "இரட்டைப் பகா எண்கள் (Twin Primes)" | சொல் இடைவெளி சரிசெய்யப்பட்டது + English term bracket-ல் சேர்க்கப்பட்டது. |
✅ Verification Note
இந்த topic-ல் உள்ள அனைத்து solved examples-ன் இறுதி விடைகளும் code execution மூலம் cross-verify செய்யப்பட்டுள்ளன.